Sejam:
e
.
Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa
:
Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos algumas probabilidades envolvendo os conjuntos A, B e C. O objetivo é analisar três afirmações e dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de união, interseção e probabilidade condicional da teoria da probabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as probabilidades que nos foram dadas:
-
: probabilidade de A ou B acontecer. -
: probabilidade de A ou C acontecer, que é certa. -
: probabilidade de A acontecer. -
: probabilidade de B acontecer. -
: probabilidade de C acontecer.
Passo 3
Vamos analisar a primeira afirmação:
Aqui,
significa A interseção com (B união C), ou seja, a probabilidade de A e B ou A e C acontecerem juntos.
Passo 4
Para calcular
, usamos a propriedade distributiva da interseção sobre a união:
Passo 5
Podemos usar a fórmula da união de dois eventos:
Aplicando isso:
Passo 6
Sabemos que:
Substituindo:
Passo 7
Também sabemos que:
Substituindo:
Passo 8
Agora, voltando à nossa expressão:
Precisamos encontrar
. Como
, isso implica que sempre que A não ocorre, C ocorre. Portanto, a interseção tripla não aumenta a probabilidade além de
.
Para simplificar, podemos considerar que
, já que C ocorre sempre que A não ocorre.
Então:
Passo 9
Agora, verificamos se
, o que é falso. Portanto, a primeira afirmação é Falsa (F).
Passo 10
Vamos para a segunda afirmação:
2.
2.
Aqui,
é a probabilidade de A acontecer dado que C aconteceu, e
é a probabilidade de A acontecer dado que B aconteceu.
Passo 11
A fórmula da probabilidade condicional é:
Passo 12
Calculamos
:
Passo 13
Calculamos
:
Passo 14
Comparando:
Então, a segunda afirmação é Verdadeira (V).
Passo 15
Agora, a terceira afirmação:
3.
3.
Parece que há um erro de notação aqui. Vamos interpretar
como o complemento de B, ou seja,
.
Passo 16
Então, reescrevemos a afirmação como:
Passo 17
Calculamos
:
Como
, e sabemos que
, então:
Portanto:
Passo 18
Calculamos
:
Passo 19
Comparando:
Isso é falso. Portanto, a terceira afirmação é Falsa (F).
Resposta
- F
- V
- F