Sejam: P(A cup B)=0.85, P(A cup C)=1, P(A)=0.5, P(B)=0.7 e P(C)=0.9.
Classifique as seguintes afirmações por verdadeira (V) ou falsa (F) :
l 1 P(A cap(B cup C))>0.75 2 P(A mid C)P(C mid B^subset)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos algumas probabilidades envolvendo os conjuntos A, B e C. O objetivo é analisar três afirmações e dizer se são verdadeiras (V) ou falsas (F). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de união, interseção e probabilidade condicional da teoria da probabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as probabilidades que nos foram dadas:
  • P(A cup B) = 0.85: probabilidade de A ou B acontecer.
  • P(A cup C) = 1: probabilidade de A ou C acontecer, que é certa.
  • P(A) = 0.5: probabilidade de A acontecer.
  • P(B) = 0.7: probabilidade de B acontecer.
  • P(C) = 0.9: probabilidade de C acontecer.

Passo 3

Vamos analisar a primeira afirmação:
  1. P(A cap (B cup C)) > 0.75
Aqui, A cap (B cup C) significa A interseção com (B união C), ou seja, a probabilidade de A e B ou A e C acontecerem juntos.

Passo 4

Para calcular P(A cap (B cup C)), usamos a propriedade distributiva da interseção sobre a união:
P(A cap (B cup C)) = P((A cap B) cup (A cap C))

Passo 5

Podemos usar a fórmula da união de dois eventos:
P(X cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X cap Y)
Aplicando isso:
P((A cap B) cup (A cap C)) = P(A cap B) + P(A cap C) - P(A cap B cap C)

Passo 6

Sabemos que:
P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B) = 0.85
Substituindo:
0.5 + 0.7 - P(A cap B) = 0.85 1.2 - P(A cap B) = 0.85 P(A cap B) = 1.2 - 0.85 = 0.35

Passo 7

Também sabemos que:
P(A cup C) = 1 = P(A) + P(C) - P(A cap C)
Substituindo:
0.5 + 0.9 - P(A cap C) = 1 1.4 - P(A cap C) = 1 P(A cap C) = 1.4 - 1 = 0.4

Passo 8

Agora, voltando à nossa expressão:
P(A cap (B cup C)) = P(A cap B) + P(A cap C) - P(A cap B cap C)
Precisamos encontrar P(A cap B cap C). Como P(A cup C) = 1, isso implica que sempre que A não ocorre, C ocorre. Portanto, a interseção tripla não aumenta a probabilidade além de P(A cap B).
Para simplificar, podemos considerar que P(A cap B cap C) = P(A cap B), já que C ocorre sempre que A não ocorre.
Então:
P(A cap (B cup C)) = 0.35 + 0.4 - 0.35 = 0.4

Passo 9

Agora, verificamos se 0.4 > 0.75, o que é falso. Portanto, a primeira afirmação é Falsa (F).

Passo 10

Vamos para a segunda afirmação:
2. P(A mid C) < P(A mid B)
Aqui, P(A mid C) é a probabilidade de A acontecer dado que C aconteceu, e P(A mid B) é a probabilidade de A acontecer dado que B aconteceu.

Passo 11

A fórmula da probabilidade condicional é:
P(A mid D) = P(A cap D)P(D)

Passo 12

Calculamos P(A mid C):
P(A mid C) = P(A cap C)P(C) = 0.40.9 approx 0.444

Passo 13

Calculamos P(A mid B):
P(A mid B) = P(A cap B)P(B) = 0.350.7 = 0.5

Passo 14

Comparando:
0.444 < 0.5
Então, a segunda afirmação é Verdadeira (V).

Passo 15

Agora, a terceira afirmação:
3. P(B^subset mid C) > P(C mid B^subset)
Parece que há um erro de notação aqui. Vamos interpretar B^subset como o complemento de B, ou seja, B'.

Passo 16

Então, reescrevemos a afirmação como:
P(B' mid C) > P(C mid B')

Passo 17

Calculamos P(B' mid C):
P(B' mid C) = P(B' cap C)P(C) = P(C) - P(B cap C)P(C)
Como P(A cup C) = 1, e sabemos que P(A cap C) = 0.4, então:
P(B cap C) = P(C) - P(A cap C) = 0.9 - 0.4 = 0.5
Portanto:
P(B' mid C) = 0.9 - 0.50.9 = 0.40.9 approx 0.444

Passo 18

Calculamos P(C mid B'):
P(C mid B') = P(C cap B')P(B') = 0.41 - P(B) = 0.40.3 approx 1.333

Passo 19

Comparando:
0.444 > 1.333 ?
Isso é falso. Portanto, a terceira afirmação é Falsa (F).

Resposta

  1. F
  2. V
  3. F

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