Quarta Questão (2,5pts): Encontre uma solução particular:
Passo 1
Enunciado: encontrar uma solução particular da equação
O que é pedido: apenas uma solução particular
que satisfaça a igualdade acima.
Informações dadas: o termo forçante (lado direito) é a soma de dois termos: e
. Vou usar isso depois por causa da linearidade da equação (posso tratar cada termo separadamente e somar as soluções particulares).
Informações dadas: o termo forçante (lado direito) é a soma de dois termos:
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicação didática curta): vou usar o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é: para equações lineares com coeficientes constantes, quando o lado direito é uma soma de funções simples (exponencial, polinômio, senos/cossenos), experimente um ansatz (palpite) com a mesma forma, com constantes desconhecidas, e determine essas constantes substituindo na equação. Importante: se o ansatz coincide com uma solução da equação homogênea associada, ocorrere “ressonância” e é preciso multiplicar o ansatz por
suficiente vezes para corrigir isso. Vou checar isso a seguir.
Passo 3
Equação homogênea associada e verificação de ressonância: considere a homogênea
Procuramos raízes da equação característica
Resolvendo (fatorando),
logo as raízes são
e
. Observação importante para o método: como
é uma raiz (multiplicidade
), o termo
do lado direito é ressonante — isto é, um ansatz simples
para esse termo bate com a solução homogênea e precisa ser multiplicado por
. O termo polinomial
não é ressonante com raízes
ou
, então podemos usar ansatz polinomial normalmente.
Passo 4
Tratar o termo
: escolha do ansatz. Como
corresponde à raiz
de multiplicidade
, o ansatz deve ser multiplicado por
. Assim tomo
onde
é constante a determinar. (Lembrete rápido do porquê: se
já fosse solução homogênea com multiplicidade
, deveríamos multiplicar por
; aqui
.)
Passo 5
Calcular derivados de
e aplicar o operador. Derivo passo a passo:
Agora aplico
:
Calculo o colchete:
Portanto
Esse resultado deve igualar ao termo
. Logo
Concluímos
Passo 6
Tratar o termo polinomial
: escolha do ansatz. Para um polinômio de grau
(isto é,
), escolhemos um polinômio genérico de grau
:
com
a determinar. Não precisamos multiplicar por
porque não há ressonância com raízes
ou
(o caso de polinômio ressonante ocorreria se
fosse raiz, mas não é).
Passo 7
Calcular derivados de
e aplicar o operador. Derivadas:
Aplicando
:
Isso deve ser igual ao termo
, que pode ser escrito como
. Igualando coeficientes de potências de
:
- coeficiente de
: ; - termo constante:
.
Portanto
Passo 8
Construção da solução particular total e verificação rápida por superposição. Como o operador é linear, a soma das soluções particulares individuais é uma solução particular da soma dos termos forçantes. Logo tomo
Opcional (verificação rápida): já verificamos algebraicamente cada parte deu os termos corretos (
e
), então
, como exigido.