Quarta Questão (2,5pts): Encontre uma solução particular:
y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+5 y=8 e^{5 x}+10 x

Passo 1

Enunciado: encontrar uma solução particular da equação
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=8e^{5x}+10x.
O que é pedido: apenas uma solução particular y_p(x) que satisfaça a igualdade acima.
Informações dadas: o termo forçante (lado direito) é a soma de dois termos: 8e^{5x} e 10x. Vou usar isso depois por causa da linearidade da equação (posso tratar cada termo separadamente e somar as soluções particulares).

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicação didática curta): vou usar o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é: para equações lineares com coeficientes constantes, quando o lado direito é uma soma de funções simples (exponencial, polinômio, senos/cossenos), experimente um ansatz (palpite) com a mesma forma, com constantes desconhecidas, e determine essas constantes substituindo na equação. Importante: se o ansatz coincide com uma solução da equação homogênea associada, ocorrere “ressonância” e é preciso multiplicar o ansatz por x suficiente vezes para corrigir isso. Vou checar isso a seguir.

Passo 3

Equação homogênea associada e verificação de ressonância: considere a homogênea
y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y=0.
Procuramos raízes da equação característica
r^{2}-6r+5=0.
Resolvendo (fatorando),
r^{2}-6r+5=(r-1)(r-5)=0,
logo as raízes são r=1 e r=5. Observação importante para o método: como r=5 é uma raiz (multiplicidade 1), o termo e^{5x} do lado direito é ressonante — isto é, um ansatz simples Ae^{5x} para esse termo bate com a solução homogênea e precisa ser multiplicado por x. O termo polinomial 10x não é ressonante com raízes 1 ou 5, então podemos usar ansatz polinomial normalmente.

Passo 4

Tratar o termo 8e^{5x}: escolha do ansatz. Como e^{5x} corresponde à raiz r=5 de multiplicidade 1, o ansatz deve ser multiplicado por x. Assim tomo
y_{p1}(x)=A x e^{5x},
onde A é constante a determinar. (Lembrete rápido do porquê: se e^{5x} já fosse solução homogênea com multiplicidade m, deveríamos multiplicar por x^{m}; aqui m=1.)

Passo 5

Calcular derivados de y_{p1} e aplicar o operador. Derivo passo a passo:
y_{p1}(x)=A x e^{5x},
y_{p1}^\prime(x)=A(1+5x)e^{5x},
y_{p1}^{\prime\prime}(x)=A(10+25x)e^{5x}.
Agora aplico L[y]=y^{\prime\prime}-6y^{\prime}+5y:
L[y_{p1}]=A e^{5x}\big[(10+25x)-6(1+5x)+5x\big].
Calculo o colchete:
(10+25x)-6(1+5x)+5x=10+25x-6-30x+5x=4.
Portanto
L[y_{p1}]=A\cdot 4 e^{5x}.
Esse resultado deve igualar ao termo 8e^{5x}. Logo
4A=8 \quad\Rightarrow\quad A=2.
Concluímos
y_{p1}(x)=2x e^{5x}.

Passo 6

Tratar o termo polinomial 10x: escolha do ansatz. Para um polinômio de grau 1 (isto é, 10x), escolhemos um polinômio genérico de grau 1:
y_{p2}(x)=Bx+C,
com B,C a determinar. Não precisamos multiplicar por x porque não há ressonância com raízes 1 ou 5 (o caso de polinômio ressonante ocorreria se r=0 fosse raiz, mas não é).

Passo 7

Calcular derivados de y_{p2} e aplicar o operador. Derivadas:
y_{p2}^\prime(x)=B,\qquad y_{p2}^{\prime\prime}(x)=0.
Aplicando L:
L[y_{p2}]=0-6B+5(Bx+C)=5B x + (5C-6B).
Isso deve ser igual ao termo 10x, que pode ser escrito como 10x+0. Igualando coeficientes de potências de x:
  • coeficiente de x: 5B=10 \Rightarrow B=2;
  • termo constante: 5C-6B=0 \Rightarrow 5C-12=0 \Rightarrow C=\dfrac{12}{5}.
Portanto
y_{p2}(x)=2x+\frac{12}{5}.

Passo 8

Construção da solução particular total e verificação rápida por superposição. Como o operador é linear, a soma das soluções particulares individuais é uma solução particular da soma dos termos forçantes. Logo tomo
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x)=2x e^{5x}+2x+\frac{12}{5}.
Opcional (verificação rápida): já verificamos algebraicamente cada parte deu os termos corretos ( L[y_{p1}]=8e^{5x} e L[y_{p2}]=10x), então L[y_p]=8e^{5x}+10x, como exigido.

Resposta

y_p(x)=2x e^{5x}+2x+\frac{12}{5}

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