Sejam u=x+y e v=\frac{y}{x}. Calcule o determinante jacobiano \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}.
Calcule: \frac{\partial(u, v)}{\partial(y, z)} sendo u=x y z e v=x^{3}+y^{2}.
Passo 1
Enunciados e o que é pedido:
Questão 10: foram dadas as expressões u=x+y e v=\dfrac{y}{x}. Pede-se calcular o determinante jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}. Observação: a expressão v=\dfrac{y}{x} exige x\neq0.
Questão 11: foram dadas as expressões u=xyz e v=x^{3}+y^{2}. Pede-se calcular \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}. Aqui x deve ser tratado como constante ao derivarmos em relação a y e z.
Passo 2
O que é o determinante jacobiano e como calculamos (mini-aula):
Para duas variáveis u e v dependentes de duas variáveis independentes x e y, o jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} é o determinante da matriz das derivadas parciais:
Agora calcule as derivadas parciais de v. É útil reescrever v como v=y\,x^{-1}.
\dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(y x^{-1}\big). Aqui y é constante, então usamos a regra da potência para x^{-1}:\frac{\partial v}{\partial x}=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(y x^{-1}\big)=x^{-1}=\frac{1}{x}, pois derivada de y em relação a y é 1 e x^{-1} é tratada como constante.
Monte a matriz jacobiana e calcule o determinante:
Observação final: como u=x+y, podemos escrever também \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\dfrac{u}{x^{2}}. Lembre-se que isto só vale para x\neq0.]
Passo 4
Resolução detalhada da Questão 11 (u=xyz,\; v=x^{3}+y^{2}; calcular \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}):
Aqui as variáveis independentes são y e z. Ao derivar, x é tratado como constante.
Calcule as derivadas parciais de u:
\dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x y z)=x\cdot z. Explicação: x e z são constantes no derivar por y, então multiplicamos eles e derivamos y que dá 1.
\dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x y z)=x\cdot y. Mesma ideia, agora y e x são constantes.
Calcule as derivadas parciais de v:
\dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3}+y^{2})=2y, pois x^{3} é constante (não depende de y).
\dfrac{\partial v}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x^{3}+y^{2})=0, pois v não depende de z.
Monte a matriz jacobiana em relação a (y,z) e calcule o determinante:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}= \begin{vmatrix} x z & x y\\[4pt] 2y & 0 \end{vmatrix}.