1. Sejam u=x+y e v=\frac{y}{x}. Calcule o determinante jacobiano \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}.
  2. Calcule:
    \frac{\partial(u, v)}{\partial(y, z)} sendo u=x y z e v=x^{3}+y^{2}.

Passo 1

Enunciados e o que é pedido:
  • Questão 10: foram dadas as expressões u=x+y e v=\dfrac{y}{x}. Pede-se calcular o determinante jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}. Observação: a expressão v=\dfrac{y}{x} exige x\neq0.
  • Questão 11: foram dadas as expressões u=xyz e v=x^{3}+y^{2}. Pede-se calcular \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}. Aqui x deve ser tratado como constante ao derivarmos em relação a y e z.

Passo 2

O que é o determinante jacobiano e como calculamos (mini-aula):
  • Para duas variáveis u e v dependentes de duas variáveis independentes x e y, o jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} é o determinante da matriz das derivadas parciais:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y} \\[6pt] \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}.
  • Significado prático: cada entrada é “como u (ou v) muda se eu mexer um pouco em x (ou y), mantendo a outra variável fixa”.
  • Regra do determinante 2\times2: para a matriz \begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}, o determinante é ad-bc.
  • Regras rápidas de derivação usadas aqui:
    • Derivada parcial de uma soma: \dfrac{\partial}{\partial x}(f+g)=\dfrac{\partial f}{\partial x}+\dfrac{\partial g}{\partial x}.
    • Derivada parcial de x^{n} em relação a x: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
    • Derivada parcial de x^{-1} em relação a x: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-x^{-2}.
    • Derivada parcial em relação a uma variável que não aparece é zero.]

Passo 3

Resolução detalhada da Questão 10 ( u=x+y,\; v=\dfrac{y}{x}):
  • Primeiro calcule as derivadas parciais de u:
    • \dfrac{\partial u}{\partial x}= \dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1 porque derivada de x em relação a x é 1 e y é tratado como constante.
    • \dfrac{\partial u}{\partial y}= \dfrac{\partial}{\partial y}(x+y)=1.
  • Agora calcule as derivadas parciais de v. É útil reescrever v como v=y\,x^{-1}.
    • \dfrac{\partial v}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}\big(y x^{-1}\big). Aqui y é constante, então usamos a regra da potência para x^{-1}: \frac{\partial v}{\partial x}=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
    • \dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}\big(y x^{-1}\big)=x^{-1}=\frac{1}{x}, pois derivada de y em relação a y é 1 e x^{-1} é tratada como constante.
  • Monte a matriz jacobiana e calcule o determinante:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} 1 & 1\\[4pt] -\dfrac{y}{x^{2}} & \dfrac{1}{x} \end{vmatrix}.
Aplicando ad-bc:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=1\cdot\frac{1}{x}-1\cdot\Big(-\frac{y}{x^{2}}\Big) =\frac{1}{x}+\frac{y}{x^{2}}.
  • Simplifique somando frações com denominador comum x^{2}:
\frac{1}{x}+\frac{y}{x^{2}}=\frac{x}{x^{2}}+\frac{y}{x^{2}}=\frac{x+y}{x^{2}}.
  • Observação final: como u=x+y, podemos escrever também \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\dfrac{u}{x^{2}}. Lembre-se que isto só vale para x\neq0.]

Passo 4

Resolução detalhada da Questão 11 ( u=xyz,\; v=x^{3}+y^{2}; calcular \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}):
  • Aqui as variáveis independentes são y e z. Ao derivar, x é tratado como constante.
  • Calcule as derivadas parciais de u:
    • \dfrac{\partial u}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x y z)=x\cdot z. Explicação: x e z são constantes no derivar por y, então multiplicamos eles e derivamos y que dá 1.
    • \dfrac{\partial u}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x y z)=x\cdot y. Mesma ideia, agora y e x são constantes.
  • Calcule as derivadas parciais de v:
    • \dfrac{\partial v}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(x^{3}+y^{2})=2y, pois x^{3} é constante (não depende de y).
    • \dfrac{\partial v}{\partial z}=\dfrac{\partial}{\partial z}(x^{3}+y^{2})=0, pois v não depende de z.
  • Monte a matriz jacobiana em relação a (y,z) e calcule o determinante:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}= \begin{vmatrix} x z & x y\\[4pt] 2y & 0 \end{vmatrix}.
Aplicando ad-bc:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}=(x z)\cdot 0-(x y)\cdot(2y)=0-2x y^{2}=-2x y^{2}.
  • Não há restrição extra de domínio aqui; resultado válido para todos os x,y,z reais (ou no campo considerado).]

Resposta

\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\dfrac{x+y}{x^{2}} para x\neq0.\n \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(y,z)}=-2x y^{2}.

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