1. Sejam u=x+y e v=\frac{y}{x}. Calcule o determinante jacobiano \frac{\partial(u, v)}{\partial(x, y)}.
  2. Calcule:
    \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, s)} sendo x=r+3 s+t^{2} e y=r^{2}-s^{2}-3 t^{2}.

Passo 1

Enunciados e o que se pede:
  • Questão 10: estão dadas as variáveis u=x+y e v=\dfrac{y}{x}. Pede-se calcular o determinante jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}.
  • Questão 11: estão dadas as funções x=r+3s+t^{2} e y=r^{2}-s^{2}-3t^{2}. Pede-se calcular \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(r,s)}. Note que t aparece nas expressões mas aqui o jacobiano é em relação a r e s; trate t como constante.

Passo 2

O que é o determinante jacobiano para duas variáveis (explicação didática):
  • Para duas funções u(x,y) e v(x,y), o jacobiano \dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} é o determinante da matriz das derivadas parciais:
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}\\[6pt] \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y} \end{vmatrix}.
  • Para uma matriz 2\times2 com entradas a,b,c,d, o determinante é ad-bc. Aplicaremos isso após calcular cada derivada parcial.
  • Lembre: derivada parcial significa “derivar em relação a uma variável mantendo a outra fixa”.]

Passo 3

Observação prática antes de começar os cálculos:
  • Se aparecerem outros parâmetros (como t na questão 11), tratamos esses parâmetros como constantes ao derivar em relação a r e s.

Passo 4

Resolução da Questão 10 — cálculo das derivadas parciais:
  • Dados \displaystyle u=x+y e \displaystyle v=\frac{y}{x}.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}: derivando x+y em relação a x (com y constante) obtemos
\frac{\partial u}{\partial x}=1.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}: derivando x+y em relação a y (com x constante) obtemos
\frac{\partial u}{\partial y}=1.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial v}{\partial x}: escrevendo v=y\,x^{-1} e derivando em x com y constante,
\frac{\partial v}{\partial x}=y\cdot\frac{d}{dx}(x^{-1})=y\cdot(-1)x^{-2}=-\frac{y}{x^{2}}.
(Alternativamente poderia usar a regra do quociente.)
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial v}{\partial y}: derivando \dfrac{y}{x} em relação a y (com x constante),
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{1}{x}.

Passo 5

Resolução da Questão 10 — montar o jacobiano e calcular o determinante:
  • A matriz das derivadas parciais é
\begin{pmatrix} 1 & 1\\[4pt] -\dfrac{y}{x^{2}} & \dfrac{1}{x} \end{pmatrix}.
  • O determinante é
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = 1\cdot\frac{1}{x} - 1\cdot\left(-\frac{y}{x^{2}}\right) = \frac{1}{x} + \frac{y}{x^{2}}.
  • Simplificando com denominador comum x^{2},
\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\frac{x+y}{x^{2}}.
  • Observação: esta expressão exige x\neq 0 (pois v=\dfrac{y}{x} não está definida em x=0).]

Passo 6

Resolução da Questão 11 — cálculo das derivadas parciais (tratando t como constante):
  • Dadas \displaystyle x=r+3s+t^{2} e \displaystyle y=r^{2}-s^{2}-3t^{2}.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial x}{\partial r}: derivada de r+3s+t^{2} em relação a r (com s,t constantes) é
\frac{\partial x}{\partial r}=1.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial x}{\partial s}: derivada de r+3s+t^{2} em relação a s (com r,t constantes) é
\frac{\partial x}{\partial s}=3.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial y}{\partial r}: derivada de r^{2}-s^{2}-3t^{2} em relação a r é
\frac{\partial y}{\partial r}=2r.
  • Calcule \displaystyle \frac{\partial y}{\partial s}: derivada de r^{2}-s^{2}-3t^{2} em relação a s é
\frac{\partial y}{\partial s}=-2s.

Passo 7

Resolução da Questão 11 — montar o jacobiano e calcular o determinante:
  • A matriz das derivadas parciais é
\begin{pmatrix} 1 & 3\\[4pt] 2r & -2s \end{pmatrix}.
  • O determinante é
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,s)} = 1\cdot(-2s) - 3\cdot(2r) = -2s -6r.
  • Fatorando -2,
\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,s)} = -2(3r+s).]

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (resumindo o procedimento):
  • Para jacobiano 2\times2: calcule as quatro derivadas parciais, faça ad-bc.
  • Trate parâmetros (como t) como constantes se o jacobiano é em outras variáveis.
  • Verifique domínio (por exemplo, divisão por x exige x\neq0).
  • Respire fundo — esse tipo de cálculo vira rotina com prática. Você consegue!

Resposta

  1. \displaystyle \frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}=\frac{x+y}{x^{2}}
  2. \displaystyle \frac{\partial(x,y)}{\partial(r,s)}=-2(3r+s)

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