Dica: não é necessário empregar novamente o procedimento do item anterior.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+4y=g(t),\qquad y(0)=1,\;y'(0)=1,
com g\) definida por
\[g(t)=\begin{cases} 2, & t<1,\\[4pt] 3-t, & 1\le t<3,\\[4pt] 0, & t\ge 3. \end{cases}
O que se pede é a solução y(t)\] para \(t\ge 0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento g(t) em trechos.
O forçamento muda em t=1 e t=3, por isso é natural resolver por trechos: 0\le t<1, 1\le t<3 e t\ge 3.
As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=1.
Como g(t) é contínua nos pontos de mudança (g(1^-)=2, g(1^+)=2; g(3^-)=0, g(3^+)=0), a solução y obtida será C^2 e, em particular, y e y' serão contínuas nos pontos t=1 e t=3. Essas continuidades serão usadas para ligar as soluções de cada trecho.]
Passo 2
Plano de solução e técnica usada (explicação didática curta):
Para equações lineares homogêneas do tipo y''+4y=0 resolvem-se as raízes da equação característica r^2+4=0, que dá r=\pm 2\mathrm{i}. Isso leva à solução homogênea
y_h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A,B são constantes a determinar.
Para a parte particular, usa-se o método dos coeficientes a determinar (tentar um polinômio de grau adequado quando o lado direito for polinomial/constante). Depois impõe-se as condições (iniciais ou de continuidade) para achar as constantes em cada intervalo.
Começamos pelo trecho inicial 0\le t<1, onde g(t)=2.
Resolução no trecho 0\le t<1:
Equação: y''+4y=2.
Solução geral = solução homogênea + particular. A homogênea é A\cos(2t)+B\sin(2t).
Procuramos uma particular constante y_p=k. Substituindo:
0+4k=2\quad\Rightarrow\quad k=\tfrac12.
Então a solução no trecho é
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+\tfrac12.
Use as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Primeiro, y(0)=A+\tfrac12=1\Rightarrow A=\tfrac12.
Resolução no trecho 1\le t<3\) (onde \(g(t)=3-t\)):
- Agora a equação é \(y''+4y=3-t\). A homogênea continua sendo \(A\cos(2t)+B\sin(2t)\) (vamos escrever com constantes novas \(C,D\) neste trecho).
- Procuramos uma particular do tipo polinomial de grau 1: \(y_p(t)=at+b\). Substituindo em \(y''+4y\) com \(y_p''=0\):
\[4(at+b)=3-t.
Para simplificar, divida a segunda equação por 2\]:
\[- C\sin(2)+ D\cos(2)= -\tfrac12\sin(2)+\tfrac12\cos(2)+\tfrac18.\]
- Escrevendo o sistema matricial
\[\begin{pmatrix}\cos(2)&\sin(2)\\[4pt]-\sin(2)&\cos(2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\[2pt]D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac12\cos(2)+\tfrac12\sin(2)\\[4pt]-\tfrac12\sin(2)+\tfrac12\cos(2)+\tfrac18\end{pmatrix},\]
a matriz à esquerda tem determinante \(\cos^2(2)+\sin^2(2)=1, então é invertível e a inversa é
Determinam-se E,F impondo continuidade de y e y' em t=3. Calcule os valores do trecho intermediário em t=3. Usando a expressão do passo anterior (observe que o termo polinomial em t dá -\tfrac14\cdot3+\tfrac34=0), temos:
y(3^-)=C\cos(6)+D\sin(6),
y'(3^-)= -2C\sin(6)+2D\cos(6)-\tfrac14.
Para t\ge 3 vale
y(3^+)=E\cos(6)+F\sin(6),
y'(3^+)=-2E\sin(6)+2F\cos(6).
Igualando y(3^-)=y(3^+) e y'(3^-)=y'(3^+) e, como antes, dividindo a segunda por 2, obtemos o sistema com a mesma matriz rotacional. Resolvendo (o cálculo é análogo ao do passo anterior) obtemos: