Quarta Questão: Considere a função g dada por
g(t)=\left\{\begin{array}{lr} 2, & t<1 \\\\ 3-t, & 1 \leq t<3 \\\\ 0, & t \geq 3 \end{array}\right.
(\mathbf{1 , 0} \mathbf{p t}) Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+4 y=g(t), \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=1
Dica: não é necessário empregar novamente o procedimento do item anterior.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''+4y=g(t),\qquad y(0)=1,\;y'(0)=1,
com g\) definida por \[g(t)=\begin{cases} 2, & t<1,\\[4pt] 3-t, & 1\le t<3,\\[4pt] 0, & t\ge 3. \end{cases}
O que se pede é a solução y(t)\] para \(t\ge 0. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação é linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento g(t) em trechos.
  • O forçamento muda em t=1 e t=3, por isso é natural resolver por trechos: 0\le t<1, 1\le t<3 e t\ge 3.
  • As condições iniciais são y(0)=1 e y'(0)=1.
  • Como g(t) é contínua nos pontos de mudança ( g(1^-)=2, g(1^+)=2; g(3^-)=0, g(3^+)=0), a solução y obtida será C^2 e, em particular, y e y' serão contínuas nos pontos t=1 e t=3. Essas continuidades serão usadas para ligar as soluções de cada trecho.]

Passo 2

Plano de solução e técnica usada (explicação didática curta):
  • Para equações lineares homogêneas do tipo y''+4y=0 resolvem-se as raízes da equação característica r^2+4=0, que dá r=\pm 2\mathrm{i}. Isso leva à solução homogênea
y_h(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A,B são constantes a determinar.
  • Para a parte particular, usa-se o método dos coeficientes a determinar (tentar um polinômio de grau adequado quando o lado direito for polinomial/constante). Depois impõe-se as condições (iniciais ou de continuidade) para achar as constantes em cada intervalo.
    Começamos pelo trecho inicial 0\le t<1, onde g(t)=2.
Resolução no trecho 0\le t<1:
  • Equação: y''+4y=2.
  • Solução geral = solução homogênea + particular. A homogênea é A\cos(2t)+B\sin(2t).
  • Procuramos uma particular constante y_p=k. Substituindo:
0+4k=2\quad\Rightarrow\quad k=\tfrac12.
  • Então a solução no trecho é
y(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t)+\tfrac12.
  • Use as condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=1. Primeiro, y(0)=A+\tfrac12=1\Rightarrow A=\tfrac12.
  • Derivando:
y'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t).
Assim y'(0)=2B=1\Rightarrow B=\tfrac12.
  • Conclusão para 0\le t<1:
\boxed{y(t)=\tfrac12\cos(2t)+\tfrac12\sin(2t)+\tfrac12,\qquad 0\le t<1.}

Passo 3

Resolução no trecho 1\le t<3\) (onde \(g(t)=3-t\)): - Agora a equação é \(y''+4y=3-t\). A homogênea continua sendo \(A\cos(2t)+B\sin(2t)\) (vamos escrever com constantes novas \(C,D\) neste trecho). - Procuramos uma particular do tipo polinomial de grau 1: \(y_p(t)=at+b\). Substituindo em \(y''+4y\) com \(y_p''=0\): \[4(at+b)=3-t.
Compare coeficientes de potências de t:
4a = -1 \Rightarrow a=-\tfrac14,\qquad 4b=3 \Rightarrow b=\tfrac34.
  • Logo uma solução particular é y_p(t)=-\tfrac14 t+\tfrac34.
  • Solução geral no trecho:
y(t)=C\cos(2t)+D\sin(2t)-\tfrac14 t+\tfrac34,\qquad 1\le t<3.
  • Para determinar C,D usamos continuidade de y e y' em t=1. Calculemos os valores à esquerda ( t\to1^-) usando a expressão do passo anterior:
y(1^-)=\tfrac12\cos(2)+\tfrac12\sin(2)+\tfrac12,
y'(t\to1^-)= -\sin(2)+\cos(2).
  • Valores à direita ( t\to1^+) usando a forma deste trecho:
y(1^+)=C\cos(2)+D\sin(2)-\tfrac14\cdot1+\tfrac34 = C\cos(2)+D\sin(2)+\tfrac12,
y'(t\to1^+)=-2C\sin(2)+2D\cos(2)-\tfrac14.
  • Igualando y(1^-)=y(1^+) e y'(1^-)=y'(1^+) obtemos o sistema de duas equações lineares para C,D:
\begin{cases} C\cos(2)+D\sin(2)=\tfrac12\cos(2)+\tfrac12\sin(2),\\[4pt] -2C\sin(2)+2D\cos(2)= -\sin(2)+\cos(2)+\tfrac14. \end{cases}
  • Para simplificar, divida a segunda equação por 2\]: \[- C\sin(2)+ D\cos(2)= -\tfrac12\sin(2)+\tfrac12\cos(2)+\tfrac18.\] - Escrevendo o sistema matricial \[\begin{pmatrix}\cos(2)&\sin(2)\\[4pt]-\sin(2)&\cos(2)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\[2pt]D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac12\cos(2)+\tfrac12\sin(2)\\[4pt]-\tfrac12\sin(2)+\tfrac12\cos(2)+\tfrac18\end{pmatrix},\] a matriz à esquerda tem determinante \(\cos^2(2)+\sin^2(2)=1, então é invertível e a inversa é
\begin{pmatrix}\cos(2)&-\sin(2)\\[4pt]\sin(2)&\cos(2)\end{pmatrix}.
  • Multiplicando pelo vetor da direita obtemos (fazendo as multiplicações e simplificações):
C=\tfrac12-\tfrac18\sin(2),\qquad D=\tfrac12+\tfrac18\cos(2).
  • Portanto, para 1\le t<3,
\boxed{y(t)=\Bigl(\tfrac12-\tfrac18\sin(2)\Bigr)\cos(2t)+\Bigl(\tfrac12+\tfrac18\cos(2)\Bigr)\sin(2t)-\tfrac14 t+\tfrac34.}]

Passo 4

Resolução no trecho t\ge 3 (onde g(t)=0):
  • A equação é homogênea y''+4y=0. A solução geral é
y(t)=E\cos(2t)+F\sin(2t),\qquad t\ge 3.
  • Determinam-se E,F impondo continuidade de y e y' em t=3. Calcule os valores do trecho intermediário em t=3. Usando a expressão do passo anterior (observe que o termo polinomial em t -\tfrac14\cdot3+\tfrac34=0), temos:
y(3^-)=C\cos(6)+D\sin(6),
y'(3^-)= -2C\sin(6)+2D\cos(6)-\tfrac14.
  • Para t\ge 3 vale
y(3^+)=E\cos(6)+F\sin(6),
y'(3^+)=-2E\sin(6)+2F\cos(6).
  • Igualando y(3^-)=y(3^+) e y'(3^-)=y'(3^+) e, como antes, dividindo a segunda por 2, obtemos o sistema com a mesma matriz rotacional. Resolvendo (o cálculo é análogo ao do passo anterior) obtemos:
E=C+\tfrac18\sin(6),\qquad F=D-\tfrac18\cos(6).
  • Substituindo os valores de C e D já encontrados,
E=\Bigl(\tfrac12-\tfrac18\sin(2)\Bigr)+\tfrac18\sin(6) =\tfrac12-\tfrac18\sin(2)+\tfrac18\sin(6),
F=\Bigl(\tfrac12+\tfrac18\cos(2)\Bigr)-\tfrac18\cos(6) =\tfrac12+\tfrac18\cos(2)-\tfrac18\cos(6).
  • Assim, para t\ge 3,
\boxed{y(t)=\Bigl(\tfrac12-\tfrac18\sin(2)+\tfrac18\sin(6)\Bigr)\cos(2t) +\Bigl(\tfrac12+\tfrac18\cos(2)-\tfrac18\cos(6)\Bigr)\sin(2t).}

Resposta

y(t)=\begin{cases} \tfrac12\cos(2t)+\tfrac12\sin(2t)+\tfrac12, & 0\le t<1,\\[6pt] \Bigl(\tfrac12-\tfrac18\sin(2)\Bigr)\cos(2t)+\Bigl(\tfrac12+\tfrac18\cos(2)\Bigr)\sin(2t)-\tfrac14 t+\tfrac34, & 1\le t<3,\\[8pt] \Bigl(\tfrac12-\tfrac18\sin(2)+\tfrac18\sin(6)\Bigr)\cos(2t) +\Bigl(\tfrac12+\tfrac18\cos(2)-\tfrac18\cos(6)\Bigr)\sin(2t), & t\ge 3. \end{cases}]

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