Quarta Questão: Considere a função g dada por
g(t)=\left\{\begin{array}{lr} 2, & t<1 \\\\ 3-t, & 1 \leq t<3 \\\\ 0, & t \geq 3 \end{array}\right.
(2,5pts) Resolva o problema de valor inicial
y^{\prime \prime}+4 y=g(t), \quad y(0)=0, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • A função forçante g(t)\) é, para todo \(t\), \[g(t)=\begin{cases} 2, & t<1,\\[4pt] 3-t, & 1\le t<3,\\[4pt] 0, & t\ge 3, \end{cases}
  • A equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais são
y''+4y=g(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(t)\] para todos os \(t\ge0. Como g é definida por partes, a solução será descrita por partes (tipicamente nos intervalos 0\le t<1, 1\le t<3 e t\ge3).]

Passo 2

Qual método escolher? Vou usar a convolução (equivalente ao método da transformada de Laplace quando as condições iniciais são zero). Razões simples e práticas:
  • As condições iniciais são zero, o que simplifica muito a transformada de Laplace.
  • A resposta de um sistema linear com entrada g e equação y''+4y=g é a convolução de g com a resposta ao impulso (função de Green) do operador \,D^2+4.
    Vou explicar isso devagar, sem pular passos.

Passo 3

Rápida aula: transformada de Laplace e resposta ao impulso.
  • Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, aplicando Laplace em y''+4y=g(t) e usando y(0)=y'(0)=0 obtemos
(s^2+4)Y(s)=G(s)\quad\Rightarrow\quad Y(s)=\frac{G(s)}{s^2+4}.
  • Isso diz que y é a convolução de g com a transformada inversa de 1/(s^2+4). Sabendo que \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=2/(s^2+4), concluímos que
\mathcal{L}^{-1}\Big\{\frac{1}{s^2+4}\Big\}=\frac{1}{2}\sin(2t).
  • Assim a solução é
y(t)=\big(g*\tfrac{1}{2}\sin(2\cdot)\big)(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin\big(2(t-s)\big)\,g(s)\,ds.
Isto é a fórmula básica que vou usar. É muito prática: reduz o problema a avaliar integrais.

Passo 4

Vou calcular \displaystyle y(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin\big(2(t-s)\big)g(s)\,ds em cada faixa de t. Uma identidade trigonométrica útil é
\sin\big(2(t-s)\big)=\sin(2t)\cos(2s)-\cos(2t)\sin(2s),
o que permite escrever a integral como combinação de \sin(2t) e \cos(2t) multiplicadas por integrais em s. Em alguns trechos também é conveniente trocar a variável u=t-s para integrar funções como u\sin(2u). Vou fazer passo a passo, bem mastigado.

Passo 5

Nesse intervalo, para todo s\in[0,t] vale g(s)=2. Então
y(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{t}\sin\big(2(t-s)\big)\cdot 2\,ds=\int_{0}^{t}\sin\big(2(t-s)\big)\,ds.
Faço a mudança u=t-s (então du=-ds, quando s=0 tem u=t, quando s=t tem u=0):
y(t)=\int_{u=t}^{0}\sin(2u)\,(-du)=\int_{0}^{t}\sin(2u)\,du.
Integral imediata:
\int_{0}^{t}\sin(2u)\,du=\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2u)\Big]_{0}^{t}=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2t)\big).
Portanto, para 0\le t<1,
\boxed{\,y(t)=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2t)\big)\,.}

Passo 6

Agora a integração precisa ser dividida, porque em s\in[0,1) temos g(s)=2 e em s\in[1,t] temos g(s)=3-s. Assim
y(t)=\frac{1}{2}\Big(\int_{0}^{1}\!2\sin(2(t-s))\,ds+\int_{1}^{t}\!(3-s)\sin(2(t-s))\,ds\Big).
Calculo cada parte.
  1. Primeiro termo:
\frac{1}{2}\int_{0}^{1}2\sin\big(2(t-s)\big)\,ds=\int_{0}^{1}\sin\big(2(t-s)\big)\,ds.
Usando u=t-s (quando s=0 tem u=t, quando s=1 tem u=t-1):
\int_{0}^{1}\sin(2(t-s))\,ds=\int_{t-1}^{t}\sin(2u)\,du=\Big[-\tfrac{1}{2}\cos(2u)\Big]_{u=t-1}^{u=t}=\tfrac{1}{2}\big(\cos(2(t-1))-\cos(2t)\big).
  1. Segundo termo: ( s\in[1,t] e t<3)
    Faço a mudança u=t-s novamente: quando s=1 tem u=t-1, quando s=t tem u=0. Note que 3-s=3-(t-u)=(3-t)+u. Assim
\frac{1}{2}\int_{1}^{t}(3-s)\sin(2(t-s))\,ds=\frac{1}{2}\int_{0}^{t-1}\big((3-t)+u\big)\sin(2u)\,du.
Separe a integral:
\frac{1}{2}\Big((3-t)\int_{0}^{t-1}\sin(2u)\,du+\int_{0}^{t-1}u\sin(2u)\,du\Big).
Calcule as duas integrais (faça devagar):
\int_{0}^{a}\sin(2u)\,du=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2a)\big),
e, por partes (isto é: p=u,\\ dq=\sin(2u)du),
\int_{0}^{a}u\sin(2u)\,du=\Big[-\tfrac{1}{2}u\cos(2u)\Big]_{0}^{a}+\tfrac{1}{2}\int_{0}^{a}\cos(2u)\,du =-\tfrac{1}{2}a\cos(2a)+\tfrac{1}{4}\sin(2a).
Substituindo com a=t-1:
\frac{1}{2}\Big((3-t)\cdot\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2(t-1))\big)-\tfrac{1}{2}(t-1)\cos(2(t-1))+\tfrac{1}{4}\sin(2(t-1))\Big).
Agora simplifico essa expressão: ao expandir e combinar termos (fazer as contas com calma) obtém-se uma grande simplificação nas parcelas com \cos(2(t-1)) — elas se cancelam com a parte 1). O resultado final, depois da simplificação, é
\text{(segunda parte)}=\frac{3-t}{4}-\tfrac{1}{2}\cos(2(t-1))+\tfrac{1}{8}\sin(2(t-1)).
Somando com a parte 1) que era \tfrac{1}{2}\big(\cos(2(t-1))-\cos(2t)\big), os termos em \cos(2(t-1)) se anulam e fica
y(t)=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{3-t}{4}+\tfrac{1}{8}\sin\big(2(t-1)\big).
Portanto, para 1\le t<3,
\boxed{\,y(t)=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{3-t}{4}+\tfrac{1}{8}\sin(2t-2)\,.}
(Esses termos são contínuos em t=1; se checar t\to1^- e t\to1^+ obtém-se o mesmo valor.)

Passo 7

Para t\ge3 a função g(s) é zero para s\ge3, logo a integral da convolução só precisa percorrer s\in[0,3]:
y(t)=\frac{1}{2}\int_{0}^{3}\sin\big(2(t-s)\big)g(s)\,ds.
Usando \sin(2(t-s))=\sin(2t)\cos(2s)-\cos(2t)\sin(2s), escrevo
y(t)=\frac{1}{2}\Big(\sin(2t)\underbrace{\int_{0}^{3}\cos(2s)g(s)\,ds}_{C_1} -\cos(2t)\underbrace{\int_{0}^{3}\sin(2s)g(s)\,ds}_{C_2}\Big),
onde C_1 e C_2 são constantes (independentes de t) que vamos calcular. Separe as integrais em [0,1] e [1,3].
Calcule C_1:
C_1=\int_{0}^{1}2\cos(2s)\,ds+\int_{1}^{3}(3-s)\cos(2s)\,ds.
A primeira parte dá 2\cdot\frac{1}{2}\sin(2s)\big|_{0}^{1}=\sin2. A segunda parte, feita por integração por partes (ou usando antiderivadas), resulta em
\int_{1}^{3}(3-s)\cos(2s)\,ds=\tfrac{1}{4}\big(\cos2-\cos6\big)-\sin2.
Somando:
C_1=\sin2+\Big(\tfrac{1}{4}(\cos2-\cos6)-\sin2\Big)=\tfrac{1}{4}\big(\cos2-\cos6\big).
Calcule C_2:
C_2=\int_{0}^{1}2\sin(2s)\,ds+\int_{1}^{3}(3-s)\sin(2s)\,ds.
A primeira parte dá 2\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\cos(2s)\big)\big|_{0}^{1}=1-\cos2. A segunda parte, por cálculo direto, dá \cos2+\tfrac{1}{4}(\sin2-\sin6). Somando:
C_2=(1-\cos2)+\Big(\cos2+\tfrac{1}{4}(\sin2-\sin6)\Big)=1+\tfrac{1}{4}(\sin2-\sin6).
Portanto, para t\ge3,
y(t)=\frac{1}{2}\Big(\sin(2t)\cdot\tfrac{1}{4}(\cos2-\cos6)-\cos(2t)\Big(1+\tfrac{1}{4}(\sin2-\sin6)\Big)\Big).
Pode-se deixar assim ou agrupar em coeficientes de \sin(2t) e \cos(2t). Uma forma compacta é
\boxed{\,y(t)=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{1}{8}\big(\cos2-\cos6\big)\sin(2t)-\tfrac{1}{8}\big(\sin2-\sin6\big)\cos(2t)\,,\quad t\ge3.}
(essa expressão é equivalente à anterior; é apenas uma combinação linear de \sin(2t) e \cos(2t) com constantes fixas).

Resposta

y(t)=\tfrac{1}{2}\big(1-\cos(2t)\big),\quad 0\le t<1
y(t)=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{3-t}{4}+\tfrac{1}{8}\sin(2t-2),\quad 1\le t<3
y(t)=-\tfrac{1}{2}\cos(2t)+\tfrac{1}{8}\big(\cos2-\cos6\big)\sin(2t)-\tfrac{1}{8}\big(\sin2-\sin6\big)\cos(2t),\quad t\ge3

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