A função forçante g(t)\) é, para todo \(t\),
\[g(t)=\begin{cases} 2, & t<1,\\[4pt] 3-t, & 1\le t<3,\\[4pt] 0, & t\ge 3, \end{cases}
A equação diferencial de segunda ordem e condições iniciais são
y''+4y=g(t),\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(t)\] para todos os \(t\ge0. Como g é definida por partes, a solução será descrita por partes (tipicamente nos intervalos 0\le t<1, 1\le t<3 e t\ge3).]
Passo 2
Qual método escolher? Vou usar a convolução (equivalente ao método da transformada de Laplace quando as condições iniciais são zero). Razões simples e práticas:
As condições iniciais são zero, o que simplifica muito a transformada de Laplace.
A resposta de um sistema linear com entrada g e equação y''+4y=g é a convolução de g com a resposta ao impulso (função de Green) do operador \,D^2+4.
Vou explicar isso devagar, sem pular passos.
Passo 3
Rápida aula: transformada de Laplace e resposta ao impulso.
Se Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} e G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\}, aplicando Laplace em y''+4y=g(t) e usando y(0)=y'(0)=0 obtemos
o que permite escrever a integral como combinação de \sin(2t) e \cos(2t) multiplicadas por integrais em s. Em alguns trechos também é conveniente trocar a variável u=t-s para integrar funções como u\sin(2u). Vou fazer passo a passo, bem mastigado.
Passo 5
Nesse intervalo, para todo s\in[0,t] vale g(s)=2. Então
Agora simplifico essa expressão: ao expandir e combinar termos (fazer as contas com calma) obtém-se uma grande simplificação nas parcelas com \cos(2(t-1)) — elas se cancelam com a parte 1). O resultado final, depois da simplificação, é
A primeira parte dá 2\cdot\frac{1}{2}\sin(2s)\big|_{0}^{1}=\sin2. A segunda parte, feita por integração por partes (ou usando antiderivadas), resulta em
A primeira parte dá 2\cdot\big(-\tfrac{1}{2}\cos(2s)\big)\big|_{0}^{1}=1-\cos2. A segunda parte, por cálculo direto, dá \cos2+\tfrac{1}{4}(\sin2-\sin6). Somando: