Primeira Questão(1,5 ponto): Sabendo que
e
são soluções da EDO homogênea associada, encontre uma solução particular de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma informação sobre a homogênea. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
- Equação dada:
- Informação:
e são soluções da equação homogênea associada. - O que se pede: encontrar uma solução particular
da equação não-homogênea.
Passo 2
Primeiro coloco a equação em forma padrão (coeficiente de
igual a 1), dividindo por
(válido pois
):
Aqui o termo não-homogêneo é
. Não alterei a informação dada: as soluções da homogênea continuam sendo
e
.
Passo 3
Vou usar o método de variação de parâmetros (pois já tenho duas soluções fundamentais da homogênea). Breve explicação do método, sem pular etapas:
- Se
onde
e
são funções a determinar.
- As derivadas
satisfazem o sistema
onde
é o wronskiano
.
- Após integrar e substituir em
obtemos a solução particular.
- Após integrar
Isso é tudo que preciso para aplicar o método com
,
e
.]
Passo 4
Calculo o wronskiano
. Primeiro as derivadas:
Então
É uma constante:
. Ótimo — facilita integrações.
Passo 5
Calculo
e
usando as fórmulas:
Agora integro para obter
e
. Faço cada integral devagar.
Para
:
Calculo as primitivas separado:
Portanto
(A constante de integração pode ser tomada zero aqui, porque qualquer constante multiplicada por
ou
seria parte da homogênea.)
Para
:
Logo
Passo 6
Agora componho
. Substituindo
:
Faço as multiplicações passo a passo:
Somando:
Passo 7
Verificação rápida (importante para ganhar confiança): calculo
para confirmar que dá
.
- Derivo
:
- Agora
Distribuindo e simplificando os termos em
cancelam, e resta
que é exatamente o lado direito da equação original. Verificação concluída:
é de fato uma solução particular.