Primeira Questão(1,5 ponto): Sabendo que x^{2} e x^{-1} são soluções da EDO homogênea associada, encontre uma solução particular de
x^{2} y^{\prime \prime}-2 y=3 x^{2}-1, \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma informação sobre a homogênea. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
  • Equação dada: x^{2}y''-2y=3x^{2}-1,\qquad x>0.
  • Informação: \,x^{2} e x^{-1} são soluções da equação homogênea associada.
  • O que se pede: encontrar uma solução particular y_{p}(x) da equação não-homogênea.

Passo 2

Primeiro coloco a equação em forma padrão (coeficiente de y'' igual a 1), dividindo por x^{2} (válido pois x>0):
y''-\frac{2}{x^{2}}y=3-\;x^{-2}.
Aqui o termo não-homogêneo é r(x)=3-x^{-2}. Não alterei a informação dada: as soluções da homogênea continuam sendo \;y_{1}(x)=x^{2} e \;y_{2}(x)=x^{-1}.

Passo 3

Vou usar o método de variação de parâmetros (pois já tenho duas soluções fundamentais da homogênea). Breve explicação do método, sem pular etapas:
  • Se y_{1}\) e \(y_{2}\) são uma base de soluções da homogênea, procuramos uma solução particular na forma \[y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar.
  • As derivadas u_{1}',u_{2}' satisfazem o sistema
\begin{cases} u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0,\\[4pt] u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=r(x), \end{cases}
onde r(x)\] é o lado direito da equação na forma padrão. - Resolvendo este sistema obtém-se \[u_{1}'=-\frac{r\,y_{2}}{W},\qquad u_{2}'=\frac{r\,y_{1}}{W},\] onde \(W é o wronskiano W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
- Após integrar u_{1}',u_{2}' e substituir em y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2} obtemos a solução particular.
Isso é tudo que preciso para aplicar o método com y_{1}=x^{2}, y_{2}=x^{-1} e r(x)=3-x^{-2}.]

Passo 4

Calculo o wronskiano W. Primeiro as derivadas:
y_{1}=x^{2},\quad y_{1}'=2x;\qquad y_{2}=x^{-1},\quad y_{2}'=-x^{-2}.
Então
W=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=x^{2}\cdot(-x^{-2})-(2x)\cdot x^{-1}=-1-2=-3.
É uma constante: W=-3. Ótimo — facilita integrações.

Passo 5

Calculo u_{1}' e u_{2}' usando as fórmulas:
u_{1}'=-\frac{r\,y_{2}}{W}=-\frac{(3-x^{-2})\,x^{-1}}{-3}=\frac{(3-x^{-2})\,x^{-1}}{3},
u_{2}'=\frac{r\,y_{1}}{W}=\frac{(3-x^{-2})\,x^{2}}{-3}=-\frac{(3-x^{-2})\,x^{2}}{3}.
Agora integro para obter u_{1} e u_{2}. Faço cada integral devagar.
Para u_{1}:
u_{1}=\int u_{1}'dx=\int \frac{(3-x^{-2})\,x^{-1}}{3}\,dx =\frac{1}{3}\int\big(3x^{-1}-x^{-3}\big)\,dx.
Calculo as primitivas separado:
\int 3x^{-1}dx=3\ln x,\qquad \int x^{-3}dx=-\frac{1}{2}x^{-2}.
Portanto
u_{1}=\frac{1}{3}\Big(3\ln x -\big(-\tfrac{1}{2}x^{-2}\big)\Big) =\ln x +\frac{1}{6}x^{-2}.
(A constante de integração pode ser tomada zero aqui, porque qualquer constante multiplicada por y_{1} ou y_{2} seria parte da homogênea.)
Para u_{2}:
u_{2}=\int u_{2}'dx=-\frac{1}{3}\int(3x^{2}-1)\,dx =-\frac{1}{3}\big(x^{3}-x\big).
Logo
u_{2}=-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}x.

Passo 6

Agora componho y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}. Substituindo y_{1},y_{2},u_{1},u_{2}:
y_{p}=\Big(\ln x +\frac{1}{6}x^{-2}\Big)\cdot x^{2}+\Big(-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}x\Big)\cdot x^{-1}.
Faço as multiplicações passo a passo:
\Big(\ln x +\frac{1}{6}x^{-2}\Big)x^{2}=x^{2}\ln x+\frac{1}{6},
\Big(-\frac{1}{3}x^{3}+\frac{1}{3}x\Big)x^{-1}=-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{3}.
Somando:
y_{p}=x^{2}\ln x+\frac{1}{6}-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{3} =x^{2}\ln x-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}.

Passo 7

Verificação rápida (importante para ganhar confiança): calculo x^{2}y_{p}''-2y_{p} para confirmar que dá 3x^{2}-1.
  • Derivo y_{p}:
y_{p}=x^{2}\ln x-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2},
y_{p}'=2x\ln x+x-\frac{2}{3}x=2x\ln x+\frac{1}{3}x,
y_{p}''=2\ln x+2+\frac{1}{3}=2\ln x+\frac{7}{3}.
  • Agora
x^{2}y_{p}''-2y_{p}=x^{2}\Big(2\ln x+\frac{7}{3}\Big)-2\Big(x^{2}\ln x-\frac{1}{3}x^{2}+\frac{1}{2}\Big).
Distribuindo e simplificando os termos em x^{2}\ln x cancelam, e resta
\big(\tfrac{7}{3}+\tfrac{2}{3}\big)x^{2}-1=3x^{2}-1,
que é exatamente o lado direito da equação original. Verificação concluída: y_{p} é de fato uma solução particular.

Resposta

y_{p}(x)=x^{2}\ln x-\tfrac{1}{3}x^{2}+\tfrac{1}{2}

Exercícios relacionados