Utilize o Método da Bisseção para aproximar uma raiz da equação
f(x)=x^{3}+2 x-5=0
no intervalo [1,2], com tolerância \varepsilon=10^{-1}.
Organize as iterações na tabela abaixo e indique, a cada passo, o novo intervalo obtido.
n a_{n} b_{n} x_{n+1} f\left(x_{n+1}\right) \left|x_{n+1}-x_{n}\right| novo intervalo

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede: aproximar uma raiz da equação \,f(x)=x^{3}+2x-5=0\, no intervalo [1,2] usando o Método da Bisseção, com tolerância \varepsilon=10^{-1}.
  • Informações relevantes fornecidas:
    • Intervalo inicial: a_{0}=1, b_{0}=2.
    • Função: f(x)=x^{3}+2x-5.
    • Tolerância: \varepsilon=10^{-1}.
  • Observação que já podemos fazer imediatamente (peguei esses valores do enunciado):
    • f(1)=1^{3}+2\cdot1-5=1+2-5=-2.
    • f(2)=2^{3}+2\cdot2-5=8+4-5=7.
    • Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em [1,2] (teorema do valor intermediário).

Passo 2

Breve aula sobre o Método da Bisseção (passo a passo, bem didático):
  • Ideia básica: se f(a) e f(b) têm sinais opostos, há uma raiz em [a,b]. O método divide o intervalo ao meio e fica com o subintervalo que conserva a troca de sinal. Repetir até a aproximação ser boa.
  • Fórmula do ponto médio: dado um intervalo [a_{n},b_{n}], o ponto médio é x_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2},onde:
    • a_{n} é a extremidade esquerda no passo n,
    • b_{n} é a extremidade direita no passo n,
    • x_{n+1} é o novo ponto médio (aproximação candidata).
  • Teste de sinal: calcula-se f(x_{n+1}). Se f(a_{n})\cdot f(x_{n+1})\le 0, então a raiz está em [a_{n},x_{n+1}]; caso contrário (ou seja, se f(x_{n+1})\cdot f(b_{n})\le0), a raiz está em [x_{n+1},b_{n}].
  • Critério de parada escolhido aqui: vamos parar quando a diferença entre dois pontos médios consecutivos ficar menor que a tolerância, isto é, quando |x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon.(Outra opção comum é parar quando \dfrac{b_n-a_n}{2}<\varepsilon; as duas regras são equivalentes em espírito para bisseção.)
  • Observação prática: no primeiro passo x_1 não tem x_0 anterior para comparar, então colocamos a diferença como “—” na primeira linha e só começamos a testar o critério a partir do segundo passo.
Agora aplicamos o método numericamente, detalhando as contas de cada iteração e montando a tabela pedida.

Passo 3

Iteração n=0:
  • Intervalo atual: a_{0}=1,\; b_{0}=2.
  • Calcula-se o ponto médio: x_{1}=\frac{a_{0}+b_{0}}{2}=\frac{1+2}{2}=1,5.
  • Avaliação de f: f(1,5)=1,5^{3}+2\cdot1,5-5=3,375+3-5=1,375.
  • Teste de sinal: f(1)=-2 e f(1,5)=1,375 têm sinais opostos, logo a raiz está em [1,1,5].
  • Diferença |x_{1}-x_{0}|: não há x_{0} anterior, então registramos como “—”.
  • Novo intervalo: [1,1,5].

Passo 4

Iteração n=1:
  • Intervalo atual: a_{1}=1,\; b_{1}=1,5.
  • Ponto médio: x_{2}=\frac{1+1,5}{2}=1,25.
  • Avaliação de f: f(1,25)=1,25^{3}+2\cdot1,25-5=1,953125+2,5-5=-0,546875.
  • Teste de sinal: f(1,25)=-0,546875 e f(1,5)=1,375 têm sinais opostos, logo a raiz está em [1,25,\,1,5].
  • Diferença entre médios: |x_{2}-x_{1}|=|1,25-1,5|=0,25.Como 0,25>\varepsilon(=0,1), não paramos.
  • Novo intervalo: [1,25,\,1,5].

Passo 5

Iteração n=2:
  • Intervalo atual: a_{2}=1,25,\; b_{2}=1,5.
  • Ponto médio: x_{3}=\frac{1,25+1,5}{2}=1,375.
  • Avaliação de f: f(1,375)=1,375^{3}+2\cdot1,375-5=2,59765625+2,75-5=0,34765625.
  • Teste de sinal: f(1,25)=-0,546875 e f(1,375)=0,34765625 têm sinais opostos, logo a raiz está em [1,25,\,1,375].
  • Diferença entre médios: |x_{3}-x_{2}|=|1,375-1,25|=0,125.Como 0,125>\varepsilon, continuamos.
  • Novo intervalo: [1,25,\,1,375].

Passo 6

Iteração n=3:
  • Intervalo atual: a_{3}=1,25,\; b_{3}=1,375.
  • Ponto médio: x_{4}=\frac{1,25+1,375}{2}=1,3125.
  • Avaliação de f: f(1,3125)=1,3125^{3}+2\cdot1,3125-5=2,260986328125+2,625-5=-0,114013671875.
  • Teste de sinal: f(1,3125)=-0,114013671875 e f(1,375)=0,34765625 têm sinais opostos, logo a raiz está em [1,3125,\,1,375].
  • Diferença entre médios: |x_{4}-x_{3}|=|1,3125-1,375|=0,0625.Agora 0,0625<\varepsilon(=0,1), portanto alcançamos a tolerância pedida e podemos parar.
  • Novo intervalo final: [1,3125,\,1,375].

Passo 7

Apresento agora a tabela com as iterações organizadas (cada número matemático está entre delimitadores ... como solicitado):
n a_{n} b_{n} x_{n+1} f\left(x_{n+1}\right) (\left x_{n+1}-x_{n}\right ) novo intervalo
0 1 2 1,5 1,375 [1,\,1,5]
1 1 1,5 1,25 -0,546875 0,25 [1,25,\,1,5]
2 1,25 1,5 1,375 0,34765625 0,125 [1,25,\,1,375]
3 1,25 1,375 1,3125 -0,114013671875 0,0625 [1,3125,\,1,375]

Resposta

\,x \approx 1,3125\,

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