Utilize o Método da Bisseção para aproximar uma raiz da equação
no intervalo
, com tolerância
.
Organize as iterações na tabela abaixo e indique, a cada passo, o novo intervalo obtido.
novo intervalo
Organize as iterações na tabela abaixo e indique, a cada passo, o novo intervalo obtido.
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novo intervalo |
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede: aproximar uma raiz da equação
no intervalo usando o Método da Bisseção, com tolerância . - Informações relevantes fornecidas:
- Intervalo inicial:
, . - Função:
. - Tolerância:
.
- Intervalo inicial:
- Observação que já podemos fazer imediatamente (peguei esses valores do enunciado):
-
. -
. - Como
e têm sinais opostos, existe pelo menos uma raiz em (teorema do valor intermediário).
-
Passo 2
Breve aula sobre o Método da Bisseção (passo a passo, bem didático):
- Ideia básica: se
e têm sinais opostos, há uma raiz em . O método divide o intervalo ao meio e fica com o subintervalo que conserva a troca de sinal. Repetir até a aproximação ser boa. - Fórmula do ponto médio: dado um intervalo
, o ponto médio é onde: -
é a extremidade esquerda no passo , -
é a extremidade direita no passo , -
é o novo ponto médio (aproximação candidata).
-
- Teste de sinal: calcula-se
. Se , então a raiz está em ; caso contrário (ou seja, se ), a raiz está em . - Critério de parada escolhido aqui: vamos parar quando a diferença entre dois pontos médios consecutivos ficar menor que a tolerância, isto é, quando
(Outra opção comum é parar quando ; as duas regras são equivalentes em espírito para bisseção.) - Observação prática: no primeiro passo
não tem anterior para comparar, então colocamos a diferença como “—” na primeira linha e só começamos a testar o critério a partir do segundo passo.
Agora aplicamos o método numericamente, detalhando as contas de cada iteração e montando a tabela pedida.
Passo 3
Iteração
:
- Intervalo atual:
. - Calcula-se o ponto médio:
- Avaliação de
: - Teste de sinal:
e têm sinais opostos, logo a raiz está em . - Diferença
: não há anterior, então registramos como “—”. - Novo intervalo:
.
Passo 4
Iteração
:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliação de
: - Teste de sinal:
e têm sinais opostos, logo a raiz está em . - Diferença entre médios:
Como , não paramos. - Novo intervalo:
.
Passo 5
Iteração
:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliação de
: - Teste de sinal:
e têm sinais opostos, logo a raiz está em . - Diferença entre médios:
Como , continuamos. - Novo intervalo:
.
Passo 6
Iteração
:
- Intervalo atual:
. - Ponto médio:
- Avaliação de
: - Teste de sinal:
e têm sinais opostos, logo a raiz está em . - Diferença entre médios:
Agora , portanto alcançamos a tolerância pedida e podemos parar. - Novo intervalo final:
.
Passo 7
Apresento agora a tabela com as iterações organizadas (cada número matemático está entre delimitadores
como solicitado):
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(\left | x_{n+1}-x_{n}\right | ) | novo intervalo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
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— |
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| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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