Em seu quarto de dormir há provavelmente umas 10^{27} moléculas de ar. Se todas se agrupassem no lado oposto do quarto, você poderia morrer sufocado. Se houvesse muito menos moléculas no quarto do que o normal, seria mais, menos ou tão provável a ocorrência desse agrupamento espontâneo ocorrer?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
  • Informação: no seu quarto há provavelmente umas \,10^{27}\, moléculas de ar (esta é a ordem de grandeza típica que o enunciado fornece).
  • Situação de interesse: o evento “todas as moléculas se agruparem espontaneamente no lado oposto do quarto” (por exemplo, todas no semiplano direito).
  • Pergunta: se houvesse muito menos moléculas no quarto do que o normal, esse agrupamento espontâneo seria mais provável, menos provável ou tão provável quanto no caso com \,10^{27}\, moléculas?

Passo 2

Modelo simples e hipótese usada (explicando passo a passo):
  • Vamos dividir o quarto em duas metades iguais (esquerda e direita). Esse é um modelo-padrão para pensar no problema: cada molécula, em média, tem probabilidade igual de estar em cada metade.
  • Assumimos que a posição de cada molécula é, para este cálculo probabilístico, independente das outras (modelo de gás ideal em que microestados são essencialmente aleatórios).
  • Para uma molécula isolada, a probabilidade de estar, por exemplo, na metade direita é \tfrac12.
  • Para várias moléculas independentes, para que todas estejam na metade direita ao mesmo tempo, multiplicamos as probabilidades individuais (regra da multiplicação para eventos independentes).
  • Portanto, se houver \,N\, moléculas, a probabilidade do evento “todas na metade direita” é
P(N)=\left(\tfrac12\right)^{N}.
Explicação didática: cada molécula contribui com um fator \tfrac12; para N moléculas colocadas independentemente, a chance conjunta é o produto desses \tfrac12's, dando (\tfrac12)^N. Outra maneira de ver: o número total de microestados binários (esquerda/direita) é 2^{N}, e apenas 1 desses microestados corresponde a “todas à direita”, logo P(N)=1/2^{N}.

Passo 3

Comparando probabilidades para diferentes números de moléculas:
  • Seja N_1 e N_2 com N_1<N_2. Então
\left(\tfrac12\right)^{N_1} > \left(\tfrac12\right)^{N_2},
porque a função f(N)=(\tfrac12)^N decresce quando N aumenta (é uma função exponencial decrescente).
  • Logo, se o número de moléculas diminuir, a probabilidade P(N) de todas agruparem num lado aumenta. Em palavras simples: menos moléculas significa “menos coisinhas” para todas coincidirem no mesmo lado, então a coincidência fica mais provável.

Passo 4

Exemplos numéricos pequenos para intuição (valores fáceis de calcular à mão):
  • N=1: P(1)=\tfrac12=0{,}5.
  • N=2: P(2)=\left(\tfrac12\right)^2=\tfrac14=0{,}25.
  • N=10: P(10)=\left(\tfrac12\right)^{10}=\tfrac{1}{1024}\approx 0{,}0009766.
  • N=50: P(50)=\left(\tfrac12\right)^{50}\approx 8{,}9\times10^{-16} (muito pequeno).
  • Para N=10^{27} (o caso do enunciado) a probabilidade é absurdamente pequena; em termos de ordem de grandeza
\log_{10}P(10^{27}) = 10^{27}\log_{10}\!\left(\tfrac12\right)\approx -0{,}3010\times10^{27},
ou seja, P(10^{27}) é da ordem de 10^{-3{,}01\times10^{26}}, um número incompreensivelmente menor que praticamente qualquer coisa observável. O ponto importante: reduzir N aumenta P(N) exponencialmente.

Passo 5

Interpretação física e prática (motivação para a prova):
  • Matemática pura: diminuir N torna o evento “todas as moléculas num lado” mais provável, porque P(N)=(\tfrac12)^N cresce quando N diminui.
  • Porém, na prática, com números macroscópicos (mesmo muito menores que \,10^{27}\,, por exemplo N=10^{20} ou N=10^{10}), P(N) ainda é astronomicamente pequena. Só quando N for realmente muito pequeno (ordem de unidades ou dezenas) o evento passa a ter probabilidade não desprezível.
  • Regra de bolso útil para prova: o fator chave é a dependência exponencial em N. Uma pequena redução absoluta em N não basta quando N é gigantesco; mas a direção da mudança de probabilidade é sempre “mais provável” se N diminuir.

Passo 6

Resposta final direta e motivadora:
  • Conclusão curta: se houver muito menos moléculas, o agrupamento espontâneo ficará mais provável.
  • Observação de ânimo: mesmo assim, com números que temos num quarto normal, o evento continua praticamente impossível — precisaríamos de um número extremamente pequeno de moléculas para que a chance deixasse de ser desprezível.

Resposta

Mais provável.

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