Em seu quarto de dormir há provavelmente umas
moléculas de ar. Se todas se agrupassem no lado oposto do quarto, você poderia morrer sufocado. Se houvesse muito menos moléculas no quarto do que o normal, seria mais, menos ou tão provável a ocorrência desse agrupamento espontâneo ocorrer?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas:
- Informação: no seu quarto há provavelmente umas
moléculas de ar (esta é a ordem de grandeza típica que o enunciado fornece). - Situação de interesse: o evento “todas as moléculas se agruparem espontaneamente no lado oposto do quarto” (por exemplo, todas no semiplano direito).
- Pergunta: se houvesse muito menos moléculas no quarto do que o normal, esse agrupamento espontâneo seria mais provável, menos provável ou tão provável quanto no caso com
moléculas?
Passo 2
Modelo simples e hipótese usada (explicando passo a passo):
- Vamos dividir o quarto em duas metades iguais (esquerda e direita). Esse é um modelo-padrão para pensar no problema: cada molécula, em média, tem probabilidade igual de estar em cada metade.
- Assumimos que a posição de cada molécula é, para este cálculo probabilístico, independente das outras (modelo de gás ideal em que microestados são essencialmente aleatórios).
- Para uma molécula isolada, a probabilidade de estar, por exemplo, na metade direita é
. - Para várias moléculas independentes, para que todas estejam na metade direita ao mesmo tempo, multiplicamos as probabilidades individuais (regra da multiplicação para eventos independentes).
- Portanto, se houver
moléculas, a probabilidade do evento “todas na metade direita” é
Explicação didática: cada molécula contribui com um fator
; para
moléculas colocadas independentemente, a chance conjunta é o produto desses
's, dando
. Outra maneira de ver: o número total de microestados binários (esquerda/direita) é
, e apenas 1 desses microestados corresponde a “todas à direita”, logo
.
Passo 3
Comparando probabilidades para diferentes números de moléculas:
- Seja
e com . Então
porque a função
decresce quando
aumenta (é uma função exponencial decrescente).
- Logo, se o número de moléculas diminuir, a probabilidade
de todas agruparem num lado aumenta. Em palavras simples: menos moléculas significa “menos coisinhas” para todas coincidirem no mesmo lado, então a coincidência fica mais provável.
Passo 4
Exemplos numéricos pequenos para intuição (valores fáceis de calcular à mão):
-
: . -
: . -
: . -
: (muito pequeno). - Para
(o caso do enunciado) a probabilidade é absurdamente pequena; em termos de ordem de grandeza
ou seja,
é da ordem de
, um número incompreensivelmente menor que praticamente qualquer coisa observável. O ponto importante: reduzir
aumenta
exponencialmente.
Passo 5
Interpretação física e prática (motivação para a prova):
- Matemática pura: diminuir
torna o evento “todas as moléculas num lado” mais provável, porque cresce quando diminui. - Porém, na prática, com números macroscópicos (mesmo muito menores que
, por exemplo ou ), ainda é astronomicamente pequena. Só quando for realmente muito pequeno (ordem de unidades ou dezenas) o evento passa a ter probabilidade não desprezível. - Regra de bolso útil para prova: o fator chave é a dependência exponencial em
. Uma pequena redução absoluta em não basta quando é gigantesco; mas a direção da mudança de probabilidade é sempre “mais provável” se diminuir.
Passo 6
Resposta final direta e motivadora:
- Conclusão curta: se houver muito menos moléculas, o agrupamento espontâneo ficará mais provável.
- Observação de ânimo: mesmo assim, com números que temos num quarto normal, o evento continua praticamente impossível — precisaríamos de um número extremamente pequeno de moléculas para que a chance deixasse de ser desprezível.
Resposta
Mais provável.