Um quarto ou dormitório típico contém cerca de 2.500 moles de ar. Calcule a variação da energia interna para essa quantidade de ar quando ele é resfriado de 35,0^{\circ} \mathrm{C} até 26,0^{\circ} \mathrm{C} mantendo uma pressão constante igual a 1,00 atm. Considere o ar um gás ideal com \gamma=1,400. (Obs.: \Delta \mathrm{U}=n C_{v} \Delta \mathrm{~T}, variação de energia interna para um gás ideal em todos os processos, independentemente de o volume ser constante ou não).

Passo 1

O enunciado dá que temos n = 2500 mol de ar (gás ideal) resfriados de T_{1}=35,0\,^{\circ}\mathrm{C} até T_{2}=26,0\,^{\circ}\mathrm{C} à pressão constante de 1,00,atm. Como se trata de um gás ideal, usamos a fórmula
\Delta U = n\,C_{v}\,\Delta T
onde \gamma = 1,400 é a razão dos calores específicos e \Delta U independe do tipo de processo.

Passo 2

Para um gás ideal relaciona-se
\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}} \quad\Longrightarrow\quad C_{v} = \frac{R}{\gamma - 1}
Adotando R = 8{,}314,J/(mol\cdot K) e \gamma = 1{,}400, vem
C_{v} = \frac{8{,}314}{1{,}400 - 1} = \frac{8{,}314}{0{,}400} \approx 20{,}785\;\text{J/(mol\cdot K)}.

Passo 3

Calculamos a variação de temperatura em kelvins (note que \Delta T em \circC é igual a \Delta T em K):
\Delta T = T_{2} - T_{1} = 26{,}0 - 35{,}0 = -9{,}0\;\mathrm{K}.

Passo 4

Substituindo em \Delta U = n\,C_{v}\,\Delta T:
\Delta U = 2500 \times 20{,}785 \times (-9{,}0).

Passo 5

Fazendo a conta:
20{,}785 \times 9{,}0 = 187{,}065\quad\Longrightarrow\quad 2500 \times 187{,}065 = 4{,}6766\times10^{5}.
Como \Delta T é negativo, \Delta U também será negativo:
\Delta U \approx -4{,}68\times10^{5}\;\mathrm{J}.

Resposta

\displaystyle \Delta U \approx -4{,}68\times10^{5}\;\mathrm{J}.

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