11)Supoulha que a função z=z(x, y) admita derivadas parciais em todos os pontos de sell dominio e que seja dada implicitamente por x y z+z^{3}=x. Expresse \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y} em termos de x, y, z.
12) Seja f(x, y)=x^{3} y^{2}-6 x y+\varphi(y). Determine uma função \varphi de modo que

Passo 1

O enunciado 11 nos dá uma função z=z(x,y) definida implicitamente por
x\,y\,z + z^{3} = x
e pede \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. O conteúdo é diferenciação implícita e derivadas parciais.

Passo 2

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, derivamos a equação
x\,y\,z + z^{3} = x
em relação a x, tratando y como constante e lembrando que z depende de x.
  • \frac{\partial}{\partial x}(x\,y\,z) = y\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial x}
  • \frac{\partial}{\partial x}(z^{3}) = 3\,z^{2}\,\frac{\partial z}{\partial x}
  • \frac{\partial}{\partial x}(x) = 1
    Logo,
y\,z \;+\;\bigl(x\,y + 3\,z^{2}\bigr)\,\frac{\partial z}{\partial x} \;=\; 1.
Isolando \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x}, obtemos
\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{1 - y\,z}{x\,y + 3\,z^{2}}.

Passo 3

Para achar \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, derivamos a mesma equação em relação a y, tratando agora x como constante.
  • \frac{\partial}{\partial y}(x\,y\,z) = x\,z + x\,y\,\frac{\partial z}{\partial y}
  • \frac{\partial}{\partial y}(z^{3}) = 3\,z^{2}\,\frac{\partial z}{\partial y}
  • \frac{\partial}{\partial y}(x) = 0
    Logo,
x\,z \;+\;\bigl(x\,y + 3\,z^{2}\bigr)\,\frac{\partial z}{\partial y} \;=\; 0.
Isolando \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y}, resulta
\frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{x\,z}{x\,y + 3\,z^{2}}.

Passo 4

No enunciado 12 falta a condição que define \varphi(y) (por exemplo, um requisito de otimização ou de derivada). Sem essa informação não há como determinar \varphi.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x} =\frac{1 - y\,z}{x\,y + 3\,z^{2}}, \qquad \frac{\partial z}{\partial y} =-\frac{x\,z}{x\,y + 3\,z^{2}}.
  1. Não é possível resolver porque o enunciado está incompleto.

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