Quatro cidades \mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C} e D estão dispostas tal que as distâncias rodoviárias entre A e B , B e C , e C e D são, respectivamente, \mathrm{AB}=60 \mathrm{~km}, \mathrm{BC}= 100 km e \mathrm{CD}=90 \mathrm{~km}. Se um automóvel vai de A até B a uma velocidade de 60 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, da cidade B até C a uma velocidade média de 50 \mathrm{~km} / \mathrm{h} e de C até D a uma velocidade média de 45 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, determine a velocidade média deste automóvel em km/h, para o percurso de A até D .

Passo 1

O enunciado dá as distâncias e as velocidades em cada trecho e pede a velocidade média no percurso de A até D. Informações fornecidas:
  • Distâncias:
    • AB=60\\ \mathrm{km}
    • BC=100\\ \mathrm{km}
    • CD=90\\ \mathrm{km}
  • Velocidades médias em cada trecho:
    • v_1=60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} no trecho A até B
    • v_2=50\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} no trecho B até C
    • v_3=45\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} no trecho C até D
O que é pedido:
  • Determinar a velocidade média do automóvel para todo o percurso A até D.

Passo 2

Definição clara e útil: a velocidade média num percurso é a razão entre a distância total percorrida e o tempo total gasto. Em fórmula:
v_{\text{média}}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}.éâ
Explicando as partes da fórmula:
  • \text{distância total}â é a soma de todas as distâncias percorridas (em \mathrm{km}).
  • \text{tempo total} é a soma dos tempos gastos em cada trecho (em \mathrm{h}).
    Importante: não se pode simplesmente tirar a média aritmética das velocidades (por exemplo (v_1+v_2+v_3)/3), porque os trechos têm comprimentos diferentes; o correto é pesar pelo tempo gasto em cada trecho, o que a fórmula acima faz automaticamente.

Passo 3

Calcular o tempo gasto em cada trecho usando t=\dfrac{\text{distância}}{\text{velocidade}}â.
Tempo no trecho A B:
t_1=\frac{AB}{v_1}=\frac{60\\ \mathrm{km}}{60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}}=1\\ \mathrm{h}.
Tempo no trecho B C:
t_2=\frac{BC}{v_2}=\frac{100\\ \mathrm{km}}{50\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\\ \mathrm{h}.
Tempo no trecho C D:
t_3=\frac{CD}{v_3}=\frac{90\\ \mathrm{km}}{45\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}}=2\\ \mathrm{h}.

Passo 4

Calcular a distância total e o tempo total somando os trechos:
Distância total:
\text{distância total}=AB+BC+CD=60+100+90=250\\ \mathrm{km}.â
Tempo total:
\text{tempo total}=t_1+t_2+t_3=1+2+2=5\\ \mathrm{h}.

Passo 5

Aplicar a definição de velocidade média:
v_{\text{média}}=\frac{\text{distância total}}{\text{tempo total}}=\frac{250\\ \mathrm{km}}{5\\ \mathrm{h}}=50\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}.éâ

Passo 6

Verificação rápida e comentário didático: faz sentido porque o total de 250\\ \mathrm{km} em 5\\ \mathrm{h} dá exatamente 50\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}. Note que, embora uma das velocidades fosse 60\\ \mathrm{km}/\mathrm{h} e outra 45\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}, a velocidade média fica no meio e é influenciada mais pelos trechos mais longos (aqui os tempos em BC e CD são maiores, o que puxa a média para baixo). Se quiser lembrar uma regra prática: sempre use distância total dividida por tempo total — isso nunca falha.

Resposta

\,50\\ \mathrm{km}/\mathrm{h}

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