1. (2.0) Quatro esferas idênticas de massa m estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero de lados-L. Encontre a posição do centro de massa do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem quatro esferas iguais, cada uma com massa $ m $, posicionadas nos vértices de um triângulo equilátero, que tem lados de comprimento $ L $. Nosso objetivo aqui é encontrar onde fica o centro de massa desse sistema. Vamos precisar entender o que é centro de massa e como calcular isso usando as posições das esferas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o centro de massa. O centro de massa é o ponto onde podemos considerar que toda a massa do sistema está concentrada. É uma média ponderada das posições das massas individuais, levando em conta suas quantidades.

Passo 3

Como temos quatro esferas, precisamos saber onde cada uma está localizada no espaço para calcular o centro de massa. Mas espera aí, um triângulo equilátero tem só três vértices! Então, deve ter uma quarta esfera no centro do triângulo.
Vamos imaginar o triângulo no plano. Vamos colocar uma esfera em cada vértice e a quarta no centro do triângulo. Assim, temos três esferas nos cantos e uma no meio.

Passo 4

Para calcular o centro de massa ($ \vec{R} $), usamos a fórmula:
R
Onde:
  • $ M $ é a massa total ($ M = 4m $)
  • $ m_i $ é a massa de cada esfera (todas iguais a $ m $)
  • $ \vec{r}_i $ é a posição de cada esfera
Como todas as massas são iguais e simétricas, o centro de massa ficará no meio, ou seja, no ponto central do triângulo.

Passo 5

Assim, calculando isso, percebemos que pela simetria das posições das esferas, o centro de massa está exatamente no ponto central do triângulo equilátero. Não precisa fazer cálculos complicados porque a distribuição é uniforme e simétrica.

Resposta

O centro de massa do sistema está localizado no ponto central do triângulo equilátero, ou seja, no ponto médio das alturas do triângulo.

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