Encontre 3 vetores diferentes que façam ângulo de 60^{\circ} com a eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar três vetores diferentes que façam ângulo de 60^\circ com o eixo x. Informações dadas: o ângulo pedido é 60^\circ e o eixo de referência é o eixo x. Não há mais restrições (podemos escolher qualquer comprimento/módulo dos vetores), apenas os vetores devem ser distintos.

Passo 2

Vamos entender o que significa "fazer ângulo de 60^\circ com o eixo x". Um vetor no plano pode ser escrito por suas componentes como (x,y). O ângulo \theta que esse vetor faz com o eixo x (o eixo positivo) satisfaz a relação entre as componentes e as funções trigonométricas:
\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},\qquad \sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Aqui \sqrt{x^{2}+y^{2}} é o comprimento (módulo) do vetor. Essas fórmulas vêm da decomposição do vetor em direção x e y e da definição de cosseno e seno no triângulo formado.

Passo 3

Uma forma prática e direta de construir vetores com ângulo \theta é usar a parametrização
v=r(\cos\theta,\sin\theta),
onde r>0 é o comprimento do vetor. Para \theta=60^\circ temos \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}. Portanto o vetor geral que faz 60^\circ com o eixo x é
v=r\!\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)=\left(\tfrac{r}{2},\tfrac{r\sqrt{3}}{2}\right),
com r>0. (Se r<0 o vetor fica no sentido oposto e o ângulo com o eixo x passa a ser 240^\circ, que não é o que queremos aqui.)

Passo 4

Agora escolhemos três valores distintos de r>0 para obter três vetores diferentes. Vamos usar r=1, r=2 e r=3.
Para r=1:
v_{1}=\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right).
Para r=2:
v_{2}=\left(\tfrac{2}{2},\tfrac{2\sqrt{3}}{2}\right)=\left(1,\sqrt{3}\right).
Para r=3:
v_{3}=\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right).

Passo 5

Verificação rápida (usar a fórmula do cosseno entre o vetor e o eixo x, cujo vetor unitário é (1,0)). Tomando, por exemplo, v_{2}=(1,\sqrt{3}):
\|v_{2}\|=\sqrt{1^{2}+(\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{1+3}=2,
e
\cos\theta=\frac{v_{2}\cdot(1,0)}{\|v_{2}\|}=\frac{1}{2}.
Como \cos\theta=\tfrac{1}{2} implica \theta=60^\circ (no intervalo 0^\circ a 180^\circ), o vetor v_{2} realmente faz 60^\circ com o eixo x. A mesma verificação funciona para v_{1} e v_{3} porque são simplesmente múltiplos positivos da direção (\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}).

Resposta

\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{\sqrt{3}}{2}\right)
\left(1,\sqrt{3}\right)
\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)

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