Encontre 3 vetores diferentes que façam ângulo de
com a eixo
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar três vetores diferentes que façam ângulo de
com o eixo
. Informações dadas: o ângulo pedido é
e o eixo de referência é o eixo
. Não há mais restrições (podemos escolher qualquer comprimento/módulo dos vetores), apenas os vetores devem ser distintos.
Passo 2
Vamos entender o que significa "fazer ângulo de
com o eixo
". Um vetor no plano pode ser escrito por suas componentes como
. O ângulo
que esse vetor faz com o eixo
(o eixo positivo) satisfaz a relação entre as componentes e as funções trigonométricas:
Aqui
é o comprimento (módulo) do vetor. Essas fórmulas vêm da decomposição do vetor em direção
e
e da definição de cosseno e seno no triângulo formado.
Passo 3
Uma forma prática e direta de construir vetores com ângulo
é usar a parametrização
onde
é o comprimento do vetor. Para
temos
e
. Portanto o vetor geral que faz
com o eixo
é
com
. (Se
o vetor fica no sentido oposto e o ângulo com o eixo
passa a ser
, que não é o que queremos aqui.)
Passo 4
Agora escolhemos três valores distintos de
para obter três vetores diferentes. Vamos usar
,
e
.
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Verificação rápida (usar a fórmula do cosseno entre o vetor e o eixo
, cujo vetor unitário é
). Tomando, por exemplo,
:
e
Como
implica
(no intervalo
a
), o vetor
realmente faz
com o eixo
. A mesma verificação funciona para
e
porque são simplesmente múltiplos positivos da direção
.