Dois vetores têm módulos 5 e 12 respectivamente. Se a soma deles tem módulo 13 , qual o ângulo entre
eles?

Passo 1

O enunciado dá três informações e pede uma coisa. Vamos listar com cuidado:
  • Dados:
    • o módulo do primeiro vetor é \| \mathbf{u} \| = 5;
    • o módulo do segundo vetor é \| \mathbf{v} \| = 12;
    • o módulo da soma é \| \mathbf{u} + \mathbf{v} \| = 13.
  • Pergunta:
    • Qual é o ângulo \theta entre os vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}?
Não vamos resolver ainda; só deixamos explícito o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Vamos usar uma identidade muito útil entre soma de vetores, produto escalar e módulos. Primeiro, lembre que o produto escalar (ou “dot product”) de dois vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} satisfaz:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\,\|\mathbf{b}\|\,\cos\theta,
onde \theta é o ângulo entre \mathbf{a} e \mathbf{b}. Aqui \|\mathbf{a}\| significa o comprimento (módulo) do vetor \mathbf{a}.
Também use a propriedade
\|\mathbf{a}+\mathbf{b}\|^{2}=(\mathbf{a}+\mathbf{b})\cdot(\mathbf{a}+\mathbf{b})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}+2\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{b}\cdot\mathbf{b}.
Observe que \mathbf{a}\cdot\mathbf{a}=\|\mathbf{a}\|^{2}. Essa identidade é simplesmente expandir o produto escalar da soma — nada misterioso, pode-se ver como uma versão vetorial do quadrado de uma soma.

Passo 3

Aplicando a identidade do passo anterior aos vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}, obtemos:
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}+\|\mathbf{v}\|^{2}+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}.
Agora substituímos \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\cos\theta para escrever tudo em função dos módulos e do cosseno do ângulo:
\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|^{2}=\|\mathbf{u}\|^{2}+\|\mathbf{v}\|^{2}+2\|\mathbf{u}\|\,\|\mathbf{v}\|\,\cos\theta.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado deu: \|\mathbf{u}\|=5, \|\mathbf{v}\|=12 e \|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|=13. Assim:
13^{2}=5^{2}+12^{2}+2\cdot 5\cdot 12\cdot\cos\theta.

Passo 5

Façamos as contas passo a passo (não pula etapa, é importante treinar a aritmética que aparece na prova):
13^{2}=169,\qquad 5^{2}=25,\qquad 12^{2}=144.
Substituindo:
169=25+144+2\cdot 5\cdot 12\cdot\cos\theta.
Note que 25+144=169, então a igualdade fica
169=169+120\cos\theta.

Passo 6

Isolando \cos\theta:
120\cos\theta=169-169=0,
logo
\cos\theta=0.

Passo 7

Se \cos\theta=0, isso significa que \theta é um ângulo de 90^\circ (ou \pi/2 radianos). Geometricamente, os vetores são perpendiculares (ortogonais).
Você conseguiu! O resultado mostra uma relação bonita: 5,12,13 é uma terna pitagórica e aqui aparece exatamente a condição de ortogonalidade entre os vetores.

Resposta

\,90^\circ

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