Dois vetores têm módulos 5 e 12 respectivamente. Se a soma deles tem módulo 13 , qual o ângulo entre
eles?
eles?
Passo 1
O enunciado dá três informações e pede uma coisa. Vamos listar com cuidado:
-
Dados:
- o módulo do primeiro vetor é
; - o módulo do segundo vetor é
; - o módulo da soma é
.
- o módulo do primeiro vetor é
-
Pergunta:
- Qual é o ângulo
entre os vetores e ?
- Qual é o ângulo
Não vamos resolver ainda; só deixamos explícito o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Vamos usar uma identidade muito útil entre soma de vetores, produto escalar e módulos. Primeiro, lembre que o produto escalar (ou “dot product”) de dois vetores
e
satisfaz:
onde
é o ângulo entre
e
. Aqui
significa o comprimento (módulo) do vetor
.
Também use a propriedade
Observe que
. Essa identidade é simplesmente expandir o produto escalar da soma — nada misterioso, pode-se ver como uma versão vetorial do quadrado de uma soma.
Passo 3
Aplicando a identidade do passo anterior aos vetores
e
, obtemos:
Agora substituímos
para escrever tudo em função dos módulos e do cosseno do ângulo:
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos que o enunciado deu:
,
e
. Assim:
Passo 5
Façamos as contas passo a passo (não pula etapa, é importante treinar a aritmética que aparece na prova):
Substituindo:
Note que
, então a igualdade fica
Passo 6
Isolando
:
logo
Passo 7
Se
, isso significa que
é um ângulo de
(ou
radianos). Geometricamente, os vetores são perpendiculares (ortogonais).
Você conseguiu! O resultado mostra uma relação bonita:
é uma terna pitagórica e aqui aparece exatamente a condição de ortogonalidade entre os vetores.