(2.0) Quatro partículas carregadas formam um quadrado de lado \ell e têm cargas q_{1}=q, q_{2}=-2 q, q_{3}=q e q_{4}=2 q. Mostre que o campo elétrico no centro do quadrado tem módulo
E=\frac{2 q}{\pi \varepsilon_{0} \ell^{2}}
Qual é a sua direção e sentido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (colocadas aqui exatamente como estão no problema):
  • Quatro partículas carregadas ocupam os vértices de um quadrado de lado \ell.
  • As cargas valem \,q_{1}=q,\; q_{2}=-2q,\; q_{3}=q,\; q_{4}=2q.
    O que o problema pede:
  • Mostrar que o módulo do campo elétrico no centro do quadrado é
E=\frac{2 q}{\pi \varepsilon_{0} \ell^{2}}.
  • Determinar a direção e o sentido desse campo elétrico no centro.

Passo 2

Escolheremos um sistema de coordenadas e escrevemos as posições das cargas de forma explícita (isso só organiza os dados dados do enunciado; a solução começa a partir do próximo passo).
  • Colocamos o centro do quadrado na origem (0,0).
  • Seja a=\dfrac{\ell}{2}. Então os quatro vértices ficam nas coordenadas (\pm a,\pm a).
  • Para fixar uma ordem (comum em exercícios), tomemos:
    • q_1=q em (-a,+a) (canto superior esquerdo),
    • q_2=-2q em (+a,+a) (canto superior direito),
    • q_3=q em (+a,-a) (canto inferior direito),
    • q_4=2q em (-a,-a) (canto inferior esquerdo).
  • A distância do centro a qualquer vértice vale
r=\sqrt{a^{2}+a^{2}}=\sqrt{2}\,a=\frac{\ell}{\sqrt{2}}.

Passo 3

Lembrete da física que vamos usar (explicado passo a passo):
  • Lei de Coulomb (forma do campo elétrico criado por uma carga pontual): a carga Q em posição \vec r_Q produz em um ponto \vec r o campo
\vec E(\vec r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\; \frac{Q}{|\vec r-\vec r_Q|^{3}}\,(\vec r-\vec r_Q).
Aqui \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. O vetor \vec r-\vec r_Q aponta do ponto onde está a carga para o ponto onde se calcula o campo; o sinal de Q determina se o campo aponta ao longo desse vetor (se Q>0) ou no sentido oposto (se Q<0).
  • Princípio da superposição: o campo total num ponto é a soma vetorial dos campos produzidos por cada carga individual:
\vec E_{\text{tot}}=\sum_{i=1}^{4}\vec E_i.

Passo 4

Fórmula simplificada para o caso em que calculamos o campo no centro (origem). Para cada carga q_i localizada em \vec r_i (com |\vec r_i|=r) o campo no centro \vec r=\vec 0 é
\vec E_i=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q_i}{|\vec 0-\vec r_i|^{3}}(\vec 0-\vec r_i) =-\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{q_i}{r^{3}}\,\vec r_i.
Ou seja, cada contribuição é proporcional ao vetor posição \vec r_i da carga, com sinal invertido (porque o campo em 0 é produzido por um vetor que vai da carga até a origem). Definindo k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, temos
\vec E_{\text{tot}}=-k\frac{1}{r^{3}}\sum_{i=1}^{4} q_i \vec r_i.
Portanto basta calcular o somatório vetorial \displaystyle \sum_i q_i \vec r_i.

Passo 5

Calcular as componentes do somatório \displaystyle \sum_i q_i \vec r_i. Escrevendo coordenadas \vec r_i=(x_i,y_i) com x_i,y_i=\pm a:
Para a componente x:
\sum_i q_i x_i = q_1(-a)+q_2(+a)+q_3(+a)+q_4(-a).
Substituindo os valores das cargas:
\sum_i q_i x_i = q(-a)+(-2q)(+a)+q(+a)+2q(-a).
Agora somando termo a termo:
\sum_i q_i x_i = -aq -2aq + aq -2aq = (-1-2+1-2)a q = -4 a q.
Para a componente y:
\sum_i q_i y_i = q_1(+a)+q_2(+a)+q_3(-a)+q_4(-a).
Substituindo:
\sum_i q_i y_i = q(+a)+(-2q)(+a)+q(-a)+2q(-a).
Somando:
\sum_i q_i y_i = aq -2aq -aq -2aq = (-4) a q.
Assim o somatório vetorial é
\sum_{i=1}^{4} q_i \vec r_i = (-4 a q)\,\hat{\imath} + (-4 a q)\,\hat{\jmath} = -4 a q\,(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).

Passo 6

Agora substituímos na expressão para \vec E_{\text{tot}}:
\vec E_{\text{tot}} = -k\frac{1}{r^{3}}\left(-4 a q(\hat{\imath}+\hat{\jmath})\right) = k\frac{4 a q}{r^{3}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).
As componentes do campo são iguais, então a direção é na bissetriz dos eixos x e y (diagonal). O módulo do campo é
E_{\text{tot}} = k\frac{4 a q}{r^{3}}\sqrt{1^{2}+1^{2}} = k\frac{4 a q}{r^{3}}\sqrt{2}.
Agora substituímos a=\dfrac{\ell}{2} e r=\dfrac{\ell}{\sqrt{2}}. Primeiro calcule r^{3}:
r^{3}=\left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^{3}=\frac{\ell^{3}}{2\sqrt{2}}.
Substituindo em E_{\text{tot}}:
E_{\text{tot}}=k\;4\sqrt{2}\;a q\;\frac{1}{r^{3}} = k\;4\sqrt{2}\; \frac{\ell}{2}\, q\;\frac{2\sqrt{2}}{\ell^{3}}.
Multiplicando os fatores numéricos:
4\sqrt{2}\cdot\frac{\ell}{2}\cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot\frac{\ell}{2} = (4\cdot 2)(\sqrt{2}\sqrt{2})\cdot\frac{\ell}{2} =8\cdot 2\cdot\frac{\ell}{2}=8\ell.
Portanto
E_{\text{tot}}=k\;\frac{8 q}{\ell^{2}}.
Lembrando que k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, obtemos
E_{\text{tot}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{8 q}{\ell^{2}}=\frac{8 q}{4\pi\varepsilon_0 \ell^{2}}=\frac{2 q}{\pi\varepsilon_0 \ell^{2}}.
Isso mostra exatamente a expressão pedida.

Passo 7

Direção e sentido:
  • A direção do vetor \vec E_{\text{tot}} é a mesma de (\hat{\imath}+\hat{\jmath}), isto é, a diagonal que vai do centro para o canto (+a,+a) (a bissetriz que faz 45^\circ com os eixos).
  • O sentido é apontando para esse canto (+a,+a). Nesse canto está a carga q_2=-2q (carga negativa), portanto o campo aponta em direção à carga negativa (coerente com a física: dentro de um campo gerado por cargas positivas e negativas, o campo aponta em direção às cargas negativas dominantes).
  • Em forma de vetor unitário, a direção é \dfrac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}) e o campo total pode ser escrito como
\vec E_{\text{tot}} = \frac{2 q}{\pi\varepsilon_{0}\ell^{2}}\;\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}+\hat{\jmath}).

Resposta

E=\frac{2 q}{\pi \varepsilon_{0} \ell^{2}}
Direção: ao longo da diagonal que liga o centro ao vértice (+a,+a) (bissetriz dos eixos, ângulo de 45^\circ).\n
Sentido: apontando do centro em direção ao canto que contém a carga -2q (isto é, em direção ao vértice (+a,+a)).

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