(2.0) Quatro partículas carregadas formam um quadrado de lado
e têm cargas
,
e
. Mostre que o campo elétrico no centro do quadrado tem módulo
Qual é a sua direção e sentido?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (colocadas aqui exatamente como estão no problema):
- Quatro partículas carregadas ocupam os vértices de um quadrado de lado
. - As cargas valem
O que o problema pede: - Mostrar que o módulo do campo elétrico no centro do quadrado é
- Determinar a direção e o sentido desse campo elétrico no centro.
Passo 2
Escolheremos um sistema de coordenadas e escrevemos as posições das cargas de forma explícita (isso só organiza os dados dados do enunciado; a solução começa a partir do próximo passo).
- Colocamos o centro do quadrado na origem
. - Seja
. Então os quatro vértices ficam nas coordenadas . - Para fixar uma ordem (comum em exercícios), tomemos:
-
em (canto superior esquerdo), -
em (canto superior direito), -
em (canto inferior direito), -
em (canto inferior esquerdo).
-
- A distância do centro a qualquer vértice vale
Passo 3
Lembrete da física que vamos usar (explicado passo a passo):
- Lei de Coulomb (forma do campo elétrico criado por uma carga pontual): a carga
em posição produz em um ponto o campo
Aqui
é a permissividade do vácuo. O vetor
aponta do ponto onde está a carga para o ponto onde se calcula o campo; o sinal de
determina se o campo aponta ao longo desse vetor (se
) ou no sentido oposto (se
).
- Princípio da superposição: o campo total num ponto é a soma vetorial dos campos produzidos por cada carga individual:
Passo 4
Fórmula simplificada para o caso em que calculamos o campo no centro (origem). Para cada carga
localizada em
(com
) o campo no centro
é
Ou seja, cada contribuição é proporcional ao vetor posição
da carga, com sinal invertido (porque o campo em 0 é produzido por um vetor que vai da carga até a origem). Definindo
, temos
Portanto basta calcular o somatório vetorial
.
Passo 5
Calcular as componentes do somatório
. Escrevendo coordenadas
com
:
Para a componente
:
Substituindo os valores das cargas:
Agora somando termo a termo:
Para a componente
:
Substituindo:
Somando:
Assim o somatório vetorial é
Passo 6
Agora substituímos na expressão para
:
As componentes do campo são iguais, então a direção é na bissetriz dos eixos
e
(diagonal). O módulo do campo é
Agora substituímos
e
. Primeiro calcule
:
Substituindo em
:
Multiplicando os fatores numéricos:
Portanto
Lembrando que
, obtemos
Isso mostra exatamente a expressão pedida.
Passo 7
Direção e sentido:
- A direção do vetor
é a mesma de , isto é, a diagonal que vai do centro para o canto (a bissetriz que faz com os eixos). - O sentido é apontando para esse canto
. Nesse canto está a carga (carga negativa), portanto o campo aponta em direção à carga negativa (coerente com a física: dentro de um campo gerado por cargas positivas e negativas, o campo aponta em direção às cargas negativas dominantes). - Em forma de vetor unitário, a direção é
e o campo total pode ser escrito como
Resposta
Direção: ao longo da diagonal que liga o centro ao vértice
(bissetriz dos eixos, ângulo de
).\n
Sentido: apontando do centro em direção ao canto que contém a carga (isto é, em direção ao vértice
).
Sentido: apontando do centro em direção ao canto que contém a carga