Duas partículas de cargas q_{1} e q_{2} estão dispostas em um eixo x, sendo \ell a distância entre elas. A partícula q_{1} está na origem do sistema de coordenadas, enquanto q_{2} está no ponto x_{2}=\ell, à direita de q_{1}.
(1.0): Mostre que as posições de equilíbrio da partícula q_{3} à esquerda de q_{1} são dadas por
x=-\frac{\ell q_{1}}{q_{1}+q_{2}}\left[1 \pm \sqrt{-\frac{q_{2}}{q_{1}}}\right]

Passo 1

O enunciado dá:
  • Duas cargas pontuais sobre o eixo x: \,q_{1} em x_{1}=0 (origem) e \,q_{2} em x_{2}=\ell>0 (à direita de q_{1}).
  • Procurar as posições de equilíbrio de uma terceira carga q_{3} situadas à esquerda de q_{1} (ou seja, em pontos com x<0).
O que se pede: mostrar que as posições de equilíbrio da partícula q_{3} à esquerda de q_{1} são dadas por
x=-\frac{\ell q_{1}}{q_{1}+q_{2}}\left[1 \pm \sqrt{-\frac{q_{2}}{q_{1}}}\right].
Informações relevantes:
  • Distâncias úteis quando x<0:
    • distância entre q_{3} (em x) e q_{1} (em 0) é |x|=-x;
    • distância entre q_{3} (em x) e q_{2} (em \ell) é |x-\ell|=\ell-x (positiva porque \ell>x).
  • Condição de equilíbrio: força elétrica resultante sobre q_{3} é zero (soma vetorial das forças de q_{1} e q_{2} deve ser nula).

Passo 2

Regra física que vou usar (explicando como se for a primeira vez):
  • Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntuais):
F = k\frac{|q_a q_b|}{r^2},
onde k é constante (não precisa do valor numérico aqui), q_a,q_b são as cargas e r é a distância entre elas.
  • Vetorialmente, a força de uma carga fixa q sobre outra q_3 é
\vec{F} = k\frac{q\,q_3}{r^2}\,\hat{r},
onde \hat{r} é o versor apontando da carga-fonte para a carga de teste. O sinal do produto q\,q_3 determina se a força é repulsiva (mesmo sinal) ou atrativa (sinais opostos).
Agora aplico isso para as forças sobre q_{3} quando x<0:
  • Vetor unitário do trecho q_1\to q_3 é \hat{r}_{13}=(x-0)/|x-0|=x/|x|=-1 (aponta para a esquerda).
  • Vetor unitário do trecho q_2\to q_3 é \hat{r}_{23}=(x-\ell)/|x-\ell|=-1 (também para a esquerda).
    Portanto as duas forças (vetoriais) têm a forma
\vec{F}_1 = k\frac{q_1 q_3}{x^2}(-\hat{\imath}),\qquad \vec{F}_2 = k\frac{q_2 q_3}{(x-\ell)^2}(-\hat{\imath}).
Somando (ambas na direção x):
\vec{F}_{\text{res}} = -\hat{\imath}\,k q_3\!\left(\frac{q_1}{x^2}+\frac{q_2}{(x-\ell)^2}\right).
Condição de equilíbrio: \vec{F}_{\text{res}}=\vec{0}. Supondo q_3\neq0 e k\neq0, obtemos a equação escalar
\frac{q_1}{x^2}+\frac{q_2}{(x-\ell)^2}=0.

Passo 3

Resolver a equação obtida. Multiplicando ambos os lados por x^2(x-\ell)^2 (nenhum zero porque consideramos posições distintas das cargas):
q_1(x-\ell)^2 + q_2 x^2 = 0.
Expandindo:
q_1(x^2-2\ell x + \ell^2) + q_2 x^2 = 0
\Rightarrow (q_1+q_2)x^2 - 2q_1\ell x + q_1\ell^2 = 0.
Temos, portanto, um polinômio quadrático em x:
(q_1+q_2)x^2 - 2q_1\ell\,x + q_1\ell^2 = 0.

Passo 4

Aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Os coeficientes são:
A=q_1+q_2,\qquad B=-2q_1\ell,\qquad C=q_1\ell^2.
A solução é
x=\frac{-B\pm\sqrt{B^2-4AC}}{2A} =\frac{2q_1\ell\pm\sqrt{4q_1^2\ell^2-4(q_1+q_2)q_1\ell^2}}{2(q_1+q_2)}.
Fatorando 4\ell^2 no discriminante:
x=\frac{2q_1\ell\pm 2\ell\sqrt{q_1^2-q_1(q_1+q_2)}}{2(q_1+q_2)} =\frac{\ell\big(q_1\pm\sqrt{-q_1 q_2}\,\big)}{q_1+q_2}.
Agora escrevo \sqrt{-q_1 q_2} de forma conveniente: fatorando q_1 dentro da raiz,
\sqrt{-q_1 q_2} = q_1\sqrt{-\frac{q_2}{q_1}} \quad\text{(escolhendo a raiz adequada quando os sinais permitirem)}.
Substituindo:
x=\frac{\ell q_1}{q_1+q_2}\left[1\pm\sqrt{-\frac{q_2}{q_1}}\right].

Passo 5

Interpretação e conexão com a forma pedida: a expressão anterior fornece as duas raízes da equação quadrática. Para que as raízes sejam reais precisamos de
-\frac{q_2}{q_1}\ge 0,
ou seja, q_1 e q_2 devem ter sinais opostos (caso contrário o radical é imaginário e não há equilíbrio real à esquerda de q_1). As duas soluções algebraicas são
x=\frac{\ell q_1}{q_1+q_2}\left[1\pm\sqrt{-\frac{q_2}{q_1}}\right].
Agora, como o enunciado pede explicitamente as posições à esquerda de q_1 (isto é, x<0), apresenta-se a forma equivalente escrita de modo a enfatizar esse fato:
x=-\frac{\ell q_{1}}{q_{1}+q_{2}}\left[1 \pm \sqrt{-\frac{q_{2}}{q_{1}}}\right],
escrevendo o fator com sinal negativo para indicar as posições à esquerda (a escolha do sinal \pm e o sinal efetivo do fator \dfrac{q_1}{q_1+q_2} determinam quais raízes são realmente negativas). Em particular, a condição de realidade do radical e a escolha do sinal na raiz permitem selecionar as soluções com x<0.

Resposta

x=-\frac{\ell q_{1}}{q_{1}+q_{2}}\left[1 \pm \sqrt{-\frac{q_{2}}{q_{1}}}\right]

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