Duas partículas de cargas
e
estão dispostas em um eixo
, sendo
a distância entre elas. A partícula
está na origem do sistema de coordenadas, enquanto
está no ponto
, à direita de
.
(1.0): Mostre que as posições de equilíbrio da partícula
à esquerda de
são dadas por
(1.0): Mostre que as posições de equilíbrio da partícula
Passo 1
O enunciado dá:
- Duas cargas pontuais sobre o eixo
: em (origem) e em (à direita de ). - Procurar as posições de equilíbrio de uma terceira carga
situadas à esquerda de (ou seja, em pontos com ).
O que se pede: mostrar que as posições de equilíbrio da partícula
à esquerda de
são dadas por
Informações relevantes:
- Distâncias úteis quando
: - distância entre
(em ) e (em ) é ; - distância entre
(em ) e (em ) é (positiva porque ).
- distância entre
- Condição de equilíbrio: força elétrica resultante sobre
é zero (soma vetorial das forças de e deve ser nula).
Passo 2
Regra física que vou usar (explicando como se for a primeira vez):
- Lei de Coulomb (módulo da força entre duas cargas puntuais):
onde
é constante (não precisa do valor numérico aqui),
são as cargas e
é a distância entre elas.
- Vetorialmente, a força de uma carga fixa
sobre outra é
onde
é o versor apontando da carga-fonte para a carga de teste. O sinal do produto
determina se a força é repulsiva (mesmo sinal) ou atrativa (sinais opostos).
Agora aplico isso para as forças sobre
quando
:
- Vetor unitário do trecho
é (aponta para a esquerda). - Vetor unitário do trecho
é (também para a esquerda).
Portanto as duas forças (vetoriais) têm a forma
Somando (ambas na direção
):
Condição de equilíbrio:
. Supondo
e
, obtemos a equação escalar
Passo 3
Resolver a equação obtida. Multiplicando ambos os lados por
(nenhum zero porque consideramos posições distintas das cargas):
Expandindo:
Temos, portanto, um polinômio quadrático em
:
Passo 4
Aplicar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Os coeficientes são:
A solução é
Fatorando
no discriminante:
Agora escrevo
de forma conveniente: fatorando
dentro da raiz,
Substituindo:
Passo 5
Interpretação e conexão com a forma pedida: a expressão anterior fornece as duas raízes da equação quadrática. Para que as raízes sejam reais precisamos de
ou seja,
e
devem ter sinais opostos (caso contrário o radical é imaginário e não há equilíbrio real à esquerda de
). As duas soluções algebraicas são
Agora, como o enunciado pede explicitamente as posições à esquerda de
(isto é,
), apresenta-se a forma equivalente escrita de modo a enfatizar esse fato:
escrevendo o fator com sinal negativo para indicar as posições à esquerda (a escolha do sinal
e o sinal efetivo do fator
determinam quais raízes são realmente negativas). Em particular, a condição de realidade do radical e a escolha do sinal na raiz permitem selecionar as soluções com
.