Quatro pessoas, apelidadas de Norte, Sul, Leste e Oeste, recebem, cada uma, 13 cartas de um baralho comum de 52 cartas.
Se a Norte e a Sul juntas têm 10 copas, qual é a probabilidade de a Leste ou Oeste ter as outras 3 copas?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo direitinho):
  • Há quatro pessoas: Norte, Sul, Leste e Oeste, cada uma recebe 13 cartas de um baralho de 52 cartas.
  • Sabemos que Norte e Sul, juntas, têm 10 copas.
  • Portanto restam 3 copas entre as cartas de Leste e Oeste (porque existem 13 copas no baralho).
    O que o problema pede:
  • Calcular a probabilidade de que Leste ou Oeste (isto é, pelo menos um deles, mas aqui interpretamos como “um deles” ter todas) tenha as outras 3 copas. Em outras palavras, a probabilidade de que Leste tenha as 3 copas ou Oeste tenha as 3 copas.

Passo 2

Modelagem e ideia geral (explicando a contagem):
  • Depois de conditionar que Norte+Sul têm 10 copas, restam 26 cartas destinadas a Leste+Oeste (pois 52-26=26), e nessas 26 cartas há exatamente 3 copas e 23 não-copas.
  • A distribuição das 26 cartas entre Leste e Oeste é aleatória e todas as escolhas da mão de Leste (de 13 cartas entre as 26) são igualmente prováveis. O número total de mãos possíveis para Leste é
\binom{26}{13}.
  • Portanto podemos contar casos favoráveis e dividir pelo total.

Passo 3

Contagem dos casos favoráveis para “Leste ter as 3 copas”:
  • Para que Leste tenha as 3 copas, sua mão deve conter essas 3 copas e mais 10 cartas escolhidas entre as 23 não-copas.
  • O número de mãos de Leste com as 3 copas é
\binom{23}{10}.
  • Logo a probabilidade de Leste ter as 3 copas é
\frac{\binom{23}{10}}{\binom{26}{13}}.

Passo 4

Contagem para “Oeste ter as 3 copas” e união dos eventos:
  • Pelo mesmo raciocínio simétrico, a probabilidade de Oeste ter as 3 copas é a mesma:
\frac{\binom{23}{10}}{\binom{26}{13}}.
  • Os eventos “Leste tem as 3 copas” e “Oeste tem as 3 copas” são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), então a probabilidade de que Leste ou Oeste (um deles) tenha as 3 copas é a soma:
2\cdot\frac{\binom{23}{10}}{\binom{26}{13}}.

Passo 5

Simplificação algébrica da expressão (passo a passo):
\frac{\binom{23}{10}}{\binom{26}{13}} = \frac{\dfrac{23!}{10!\,13!}}{\dfrac{26!}{13!\,13!}} = \frac{23!}{10!\,13!}\cdot\frac{13!\,13!}{26!} = \frac{13!}{10!}\cdot\frac{1}{26\cdot25\cdot24}.
Agora \dfrac{13!}{10!}=13\cdot12\cdot11, então
\frac{\binom{23}{10}}{\binom{26}{13}} = \frac{13\cdot12\cdot11}{26\cdot25\cdot24}.
Fazendo cancelamentos simples:
\frac{13}{26}=\frac{1}{2},\qquad \frac{12}{24}=\frac{1}{2},
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\frac{13\cdot12\cdot11}{26\cdot25\cdot24} = \frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{11}{25} = \frac{11}{100}.
Portanto a probabilidade de Leste ter as 3 copas é \dfrac{11}{100}. Somando a contribuição simétrica de Oeste,
2\cdot\frac{11}{100}=\frac{11}{50}.

Passo 6

Interpretação final rápida e checagem:
  • A probabilidade encontrada é \dfrac{11}{50}, que em decimal é 0{,}22 (ou 22\%). Faz sentido intuitivo: é relativamente pequena — é preciso que uma das mãos de 13 cartas contenha exatamente aquelas 3 copas entre as 26 cartas restantes.

Resposta

\dfrac{11}{50}

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