Quatro pessoas, apelidadas de Norte, Sul, Leste e Oeste, recebem, cada uma, 13 cartas de um baralho comum de 52 cartas.
Se a Norte e a Sul juntas têm 10 copas, qual é a probabilidade de a Leste ou Oeste ter as outras 3 copas?
Se a Norte e a Sul juntas têm 10 copas, qual é a probabilidade de a Leste ou Oeste ter as outras 3 copas?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo direitinho):
- Há quatro pessoas: Norte, Sul, Leste e Oeste, cada uma recebe
cartas de um baralho de cartas. - Sabemos que Norte e Sul, juntas, têm
copas. - Portanto restam
copas entre as cartas de Leste e Oeste (porque existem copas no baralho).
O que o problema pede: - Calcular a probabilidade de que Leste ou Oeste (isto é, pelo menos um deles, mas aqui interpretamos como “um deles” ter todas) tenha as outras
copas. Em outras palavras, a probabilidade de que Leste tenha as 3 copas ou Oeste tenha as 3 copas.
Passo 2
Modelagem e ideia geral (explicando a contagem):
- Depois de conditionar que Norte+Sul têm
copas, restam cartas destinadas a Leste+Oeste (pois ), e nessas cartas há exatamente copas e não-copas. - A distribuição das
cartas entre Leste e Oeste é aleatória e todas as escolhas da mão de Leste (de cartas entre as ) são igualmente prováveis. O número total de mãos possíveis para Leste é
- Portanto podemos contar casos favoráveis e dividir pelo total.
Passo 3
Contagem dos casos favoráveis para “Leste ter as 3 copas”:
- Para que Leste tenha as
copas, sua mão deve conter essas copas e mais cartas escolhidas entre as não-copas. - O número de mãos de Leste com as
copas é
- Logo a probabilidade de Leste ter as
copas é
Passo 4
Contagem para “Oeste ter as 3 copas” e união dos eventos:
- Pelo mesmo raciocínio simétrico, a probabilidade de Oeste ter as
copas é a mesma:
- Os eventos “Leste tem as 3 copas” e “Oeste tem as 3 copas” são mutuamente exclusivos (não podem ocorrer simultaneamente), então a probabilidade de que Leste ou Oeste (um deles) tenha as 3 copas é a soma:
Passo 5
Simplificação algébrica da expressão (passo a passo):
Agora
, então
Fazendo cancelamentos simples:
logo
Portanto a probabilidade de Leste ter as 3 copas é
. Somando a contribuição simétrica de Oeste,
Passo 6
Interpretação final rápida e checagem:
- A probabilidade encontrada é
, que em decimal é (ou ). Faz sentido intuitivo: é relativamente pequena — é preciso que uma das mãos de cartas contenha exatamente aquelas copas entre as cartas restantes.