Quatro pessoas, apelidadas de Norte, Sul, Leste e Oeste, recebem, cada uma, 13 cartas de um baralho comum de 52 cartas.
Se a Sul tem exatamente um ás, qual é a probabilidade de sua parceira Norte ter os outros três ases?

Passo 1

O enunciado dá que quatro pessoas (Norte, Sul, Leste, Oeste) recebem, cada uma, 13 cartas de um baralho de 52 cartas. Foi informado que Sul tem exatamente um ás. A pergunta é: qual é a probabilidade de que Norte tenha os outros três ases?
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
  • Baralho com 52 cartas, contendo 4 ases no total.
  • Cada jogador recebe 13 cartas.
  • Sabemos que Sul tem exatamente 1 ás.
  • Queremos a probabilidade condicional: dado que Sul tem exatamente 1 ás, qual a probabilidade de Norte ter os outros 3 ases?

Passo 2

Ideia do modelo e justificativa: como já sabemos que Sul tem exatamente 1 ás, podemos olhar apenas para as cartas restantes. Tirando as 13 cartas de Sul, restam 52-13=39 cartas no “resto do baralho”. Dessas 39 cartas, restam 4-1=3 ases. Norte recebe 13 cartas escolhidas aleatoriamente entre essas 39. Então o problema reduz-se a: entre 39 cartas contendo exatamente 3 ases, qual a probabilidade de que as 13 cartas de Norte contenham os 3 ases?
Este é um problema clássico de distribuição sem reposição (hipergeométrico). Acontence aleatoriamente sem viés, portanto podemos usar contagem combinatória para calcular a probabilidade.

Passo 3

Montando a expressão combinatória (hipergeométrica). O número de mãos possíveis que Norte pode receber dentre as 39 cartas é
\binom{39}{13}.
O número de mãos de Norte que contêm exatamente os 3 ases (os 3 restantes) é: escolher os 3 ases ( \binom{3}{3}) e escolher os outros 13-3=10 cards entre as 39-3=36 não-ases, ou seja
\binom{3}{3}\binom{36}{10}=\binom{36}{10}.
Portanto a probabilidade pedida é
\frac{\binom{36}{10}}{\binom{39}{13}}.

Passo 4

Simplificação algébrica da expressão. Vamos reduzir a razão usando fatoriais:
\frac{\binom{36}{10}}{\binom{39}{13}} = \frac{\dfrac{36!}{10!\,26!}}{\dfrac{39!}{13!\,26!}} = \frac{36!\,13!}{10!\,39!}.
Como 39!=39\cdot38\cdot37\cdot36!, obtemos
\frac{36!\,13!}{10!\,39!} = \frac{13!}{10!\,39\cdot38\cdot37} = \frac{13\cdot12\cdot11}{39\cdot38\cdot37}.
Calculando os produtos:
\frac{13\cdot12\cdot11}{39\cdot38\cdot37} =\frac{1716}{54834}.
Reduzindo a fração (dividindo por 6 e depois por 13):
\frac{1716}{54834}=\frac{286}{9139}=\frac{22}{703}.

Passo 5

Um argumento alternativo, conceitual e curto: há \binom{39}{3} maneiras de escolher as posições das 3 cartas-ás entre as 39 cartas restantes; para que Norte receba todas as 3, as 3 posições dos ases devem estar entre as 13 posições de Norte, o que pode ocorrer de \binom{13}{3} maneiras. Assim a probabilidade é
\frac{\binom{13}{3}}{\binom{39}{3}} = \frac{13\cdot12\cdot11}{39\cdot38\cdot37},
que é exatamente a mesma expressão anterior, portanto a mesma fração \dfrac{22}{703}. Em decimal, aproximadamente \,0,0313 (ou cerca de 3{,}13\%).

Resposta

\dfrac{22}{703}\approx0,0313

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