Quatro pessoas, apelidadas de Norte, Sul, Leste e Oeste, recebem, cada uma, 13 cartas de um baralho comum de 52 cartas.
Se a Sul tem exatamente um ás, qual é a probabilidade de sua parceira Norte ter os outros três ases?
Se a Sul tem exatamente um ás, qual é a probabilidade de sua parceira Norte ter os outros três ases?
Passo 1
O enunciado dá que quatro pessoas (Norte, Sul, Leste, Oeste) recebem, cada uma, 13 cartas de um baralho de 52 cartas. Foi informado que Sul tem exatamente um ás. A pergunta é: qual é a probabilidade de que Norte tenha os outros três ases?
Informações relevantes (retiradas do enunciado):
- Baralho com 52 cartas, contendo 4 ases no total.
- Cada jogador recebe 13 cartas.
- Sabemos que Sul tem exatamente 1 ás.
- Queremos a probabilidade condicional: dado que Sul tem exatamente 1 ás, qual a probabilidade de Norte ter os outros 3 ases?
Passo 2
Ideia do modelo e justificativa: como já sabemos que Sul tem exatamente 1 ás, podemos olhar apenas para as cartas restantes. Tirando as 13 cartas de Sul, restam
cartas no “resto do baralho”. Dessas 39 cartas, restam
ases. Norte recebe 13 cartas escolhidas aleatoriamente entre essas 39. Então o problema reduz-se a: entre 39 cartas contendo exatamente 3 ases, qual a probabilidade de que as 13 cartas de Norte contenham os 3 ases?
Este é um problema clássico de distribuição sem reposição (hipergeométrico). Acontence aleatoriamente sem viés, portanto podemos usar contagem combinatória para calcular a probabilidade.
Passo 3
Montando a expressão combinatória (hipergeométrica). O número de mãos possíveis que Norte pode receber dentre as 39 cartas é
O número de mãos de Norte que contêm exatamente os 3 ases (os 3 restantes) é: escolher os 3 ases (
) e escolher os outros
cards entre as
não-ases, ou seja
Portanto a probabilidade pedida é
Passo 4
Simplificação algébrica da expressão. Vamos reduzir a razão usando fatoriais:
Como
, obtemos
Calculando os produtos:
Reduzindo a fração (dividindo por
e depois por
):
Passo 5
Um argumento alternativo, conceitual e curto: há
maneiras de escolher as posições das 3 cartas-ás entre as 39 cartas restantes; para que Norte receba todas as 3, as 3 posições dos ases devem estar entre as 13 posições de Norte, o que pode ocorrer de
maneiras. Assim a probabilidade é
que é exatamente a mesma expressão anterior, portanto a mesma fração
. Em decimal, aproximadamente
(ou cerca de
).