4.35 Um homem tem em sua māo 3 cartas de espadas de um baralho comum de 52 cartas. Se lhe sāo dadas mais quatro cartas, determine a probabilidade de pelo menos duas das cartas adicionais serem também de espadas.
Passo 1
O enunciado pede a probabilidade de que, ao receber mais quatro cartas, pelo menos duas dessas quatro sejam de espadas, sabendo que o homem já tem em sua mão três cartas de espadas. Informações relevantes dadas:
- Um baralho comum tem
cartas no total. - Inicialmente o homem já possui
cartas de espadas na mão (peguei isso do enunciado). - Serão dadas mais
cartas ao homem (pego do enunciado). - Em todo baralho há
cartas de espadas ao todo.
As perguntas concretas que vamos responder: calcular.
Passo 2
Escolha do método: como as cartas são retiradas sem reposição de um conjunto finito (as 4 cartas vêm do resto do baralho após as 3 que ele já tem), a variável que conta quantas espadas aparecem nas 4 cartas segue uma distribuição hipergeométrica. Explico por que:
- Se houvesse reposição independente, usaríamos binomial.
- Aqui NÃO há reposição e o universo é finito (restam cartas no baralho), portanto usamos combinatória direta (hipergeométrica).
Vou aplicar a fórmula hipergeométrica, que é a forma padrão para esse tipo de problema.
Passo 3
Apresentando a fórmula hipergeométrica e explicando cada símbolo.
A probabilidade de obter exatamente espadas em
cartas retiradas de uma população de
cartas, onde há
espadas no total, é
A probabilidade de obter exatamente
Explicando as variáveis:
-
= tamanho do conjunto de onde se tiram as cartas (neste caso, o número de cartas remanescentes no baralho). -
= número de cartas de interesse na população (aqui, espadas disponíveis entre as remanescentes). -
= número de cartas que serão tiradas (aqui ). -
= número de sucessos (espadas) que queremos que apareçam.
A ideia: contamos os jeitos de escolherespadas dentre as disponíveis e não-espadas dentre as , e dividimos pelo número total de maneiras de escolher cartas dentre .
Passo 4
Determinar os parâmetros do problema a partir dos dados:
- Total inicial no baralho:
. - Já na mão do homem:
espadas (peguei do enunciado).
Logo, o número de cartas que restam no baralho é
Das
espadas do baralho,
já estão na mão, então espadas restantes:
Número de cartas que serão dadas:
A variável aleatória
= número de espadas nas 4 cartas adicionais tem, portanto, distribuição hipergeométrica com
,
,
.
Passo 5
O enunciado pede “pelo menos duas” espadas entre as 4 cartas adicionais, ou seja queremos
Vamos calcular cada termo usando a fórmula hipergeométrica.
Passo 6
Calcular
.
Usando a fórmula,
Usando a fórmula,
Calculemos as combinações passo a passo:
Multiplicando:
Passo 7
Calcular
.
Cálculos:
Multiplicando:
Passo 8
Calcular
.
Cálculos:
Multiplicando:
Passo 9
Calcular o denominador comum
.
Passo a passo:
e dividindo por
(pois
):
Passo 10
Somar os numeradores favoráveis e dividir pelo denominador:
Os numeradores que encontramos são (para
),
(para
) e
(para
). Soma:
Os numeradores que encontramos são
Portanto
Passo 11
Calcular a aproximação decimal para interpretar melhor o resultado:
Fazendo a divisão,
Fazendo a divisão,
Em porcentagem isso é aproximadamente
.
Confira senso: é razoável — há espadas entre
cartas remanescentes, então chance de conseguir várias espadas em 4 cartas não é alta, e cerca de
parece plausível.
Confira senso: é razoável — há