4.35 Um homem tem em sua māo 3 cartas de espadas de um baralho comum de 52 cartas. Se lhe sāo dadas mais quatro cartas, determine a probabilidade de pelo menos duas das cartas adicionais serem também de espadas.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao receber mais quatro cartas, pelo menos duas dessas quatro sejam de espadas, sabendo que o homem já tem em sua mão três cartas de espadas. Informações relevantes dadas:
  • Um baralho comum tem 52 cartas no total.
  • Inicialmente o homem já possui 3 cartas de espadas na mão (peguei isso do enunciado).
  • Serão dadas mais 4 cartas ao homem (pego do enunciado).
  • Em todo baralho há 13 cartas de espadas ao todo.
    As perguntas concretas que vamos responder: calcular \Pr(\text{pelo menos 2 das 4 cartas adicionais são espadas})ã.

Passo 2

Escolha do método: como as cartas são retiradas sem reposição de um conjunto finito (as 4 cartas vêm do resto do baralho após as 3 que ele já tem), a variável que conta quantas espadas aparecem nas 4 cartas segue uma distribuição hipergeométrica. Explico por que:
  • Se houvesse reposição independente, usaríamos binomial.
  • Aqui NÃO há reposição e o universo é finito (restam cartas no baralho), portanto usamos combinatória direta (hipergeométrica).
    Vou aplicar a fórmula hipergeométrica, que é a forma padrão para esse tipo de problema.

Passo 3

Apresentando a fórmula hipergeométrica e explicando cada símbolo.
A probabilidade de obter exatamente k espadas em n cartas retiradas de uma população de N cartas, onde há K espadas no total, é
\Pr(X=k)=\frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{\,n-k\,}}{\binom{N}{n}}.
Explicando as variáveis:
  • N = tamanho do conjunto de onde se tiram as cartas (neste caso, o número de cartas remanescentes no baralho).
  • K = número de cartas de interesse na população (aqui, espadas disponíveis entre as remanescentes).
  • n = número de cartas que serão tiradas (aqui 4).
  • k = número de sucessos (espadas) que queremos que apareçam.
    A ideia: contamos os jeitos de escolher k espadas dentre as K disponíveis e n-k não-espadas dentre as N-K, e dividimos pelo número total de maneiras de escolher n cartas dentre N.

Passo 4

Determinar os parâmetros do problema a partir dos dados:
  • Total inicial no baralho: 52.
  • Já na mão do homem: 3 espadas (peguei do enunciado).
    Logo, o número de cartas que restam no baralho é
N=52-3=49.
Das 13 espadas do baralho, 3 já estão na mão, então espadas restantes:
K=13-3=10.
Número de cartas que serão dadas:
n=4.
A variável aleatória X = número de espadas nas 4 cartas adicionais tem, portanto, distribuição hipergeométrica com N=49, K=10, n=4.

Passo 5

O enunciado pede “pelo menos duas” espadas entre as 4 cartas adicionais, ou seja queremos
\Pr(X\ge 2)=\Pr(X=2)+\Pr(X=3)+\Pr(X=4).
Vamos calcular cada termo usando a fórmula hipergeométrica.

Passo 6

Calcular \Pr(X=2).
Usando a fórmula,
\Pr(X=2)=\frac{\binom{10}{2}\binom{39}{2}}{\binom{49}{4}}.
Calculemos as combinações passo a passo:
\binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45, \qquad \binom{39}{2}=\frac{39\cdot38}{2}=741.
Multiplicando:
\binom{10}{2}\binom{39}{2}=45\cdot741=33\,345.

Passo 7

Calcular \Pr(X=3).
\Pr(X=3)=\frac{\binom{10}{3}\binom{39}{1}}{\binom{49}{4}}.
Cálculos:
\binom{10}{3}=\frac{10\cdot9\cdot8}{3\cdot2\cdot1}=120, \qquad \binom{39}{1}=39.
Multiplicando:
\binom{10}{3}\binom{39}{1}=120\cdot39=4\,680.

Passo 8

Calcular \Pr(X=4).
\Pr(X=4)=\frac{\binom{10}{4}\binom{39}{0}}{\binom{49}{4}}.
Cálculos:
\binom{10}{4}=\frac{10\cdot9\cdot8\cdot7}{4\cdot3\cdot2\cdot1}=210, \qquad \binom{39}{0}=1.
Multiplicando:
\binom{10}{4}\binom{39}{0}=210.

Passo 9

Calcular o denominador comum \binom{49}{4}.
\binom{49}{4}=\frac{49\cdot48\cdot47\cdot46}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
Passo a passo:
49\cdot48=2\,352, \quad 2\,352\cdot47=110\,544, \quad 110\,544\cdot46=5\,085\,024,
e dividindo por 24 (pois 4!=24):
\binom{49}{4}=\frac{5\,085\,024}{24}=211\,876.

Passo 10

Somar os numeradores favoráveis e dividir pelo denominador:
Os numeradores que encontramos são 33\,345 (para k=2), 4\,680 (para k=3) e 210 (para k=4). Soma:
33\,345+4\,680+210=38\,235.
Portanto
\Pr(X\ge2)=\frac{38\,235}{211\,876}.

Passo 11

Calcular a aproximação decimal para interpretar melhor o resultado:
Fazendo a divisão,
\frac{38\,235}{211\,876}\approx 0,1804593\ldots
Em porcentagem isso é aproximadamente 18,05\%.
Confira senso: é razoável — há 10 espadas entre 49 cartas remanescentes, então chance de conseguir várias espadas em 4 cartas não é alta, e cerca de 18\% parece plausível.

Resposta

\displaystyle \frac{38\,235}{211\,876}\approx 0,1804593

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