Uma das quatro turbinas Francis do aproveitamento hidrelétrico de Itaúba, no rio Jacuí, foi projetada para uma vazão de 153 m^3 / s, quando trabalhar sob uma altura de queda de 89,5m. Durante o seu funcionamento o afogamento mínimo previsto (altura de sucção máxima negativa) é de 2,5 m, sendo a altitude do nível jusante igual a 94,5m (acima do nível do mar). O rendimento total da turbina é de 95% e ela deverá trabalhar acoplada diretamente a um gerador elétrico de 60 Hz . Considerar a temperatura da água igual a 15^circ C. Determine:
4a
O número de polos do gerador de 60 Hz ; (48 pólos)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que fala sobre uma turbina Francis na usina hidrelétrica de Itaúba. O que precisamos descobrir aqui é quantos polos tem o gerador que trabalha a 60 Hz. Para resolver isso, vamos usar um pouco de física e eletricidade, especialmente sobre como a frequência (Hz) está relacionada ao número de polos e à velocidade do gerador.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a relação entre a frequência elétrica (f), o número de polos do gerador § e a velocidade de rotação do gerador (n), que é medida em rotações por minuto (rpm). A fórmula que liga esses valores é:
f = P times n120
Aqui, $ f $ é a frequência em hertz (Hz), $ P $ é o número de polos, e $ n $ é a velocidade em rpm.

Passo 3

No nosso caso, sabemos que a frequência $ f $ é de 60 Hz. O próximo passo é descobrir a velocidade $ n $ do gerador. Mas como não temos essa informação diretamente, precisamos calculá-la usando os dados fornecidos sobre a turbina e a altura de queda.

Passo 4

Vamos calcular a potência hidráulica disponível usando a fórmula:
Phidráulica = rho times g times Q times H times eta á
Onde:
  • $ \rho $ é a densidade da água ( rho )
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ( 1000 , kg/m^3)
  • $ Q $ é a vazão ( g )
  • $ H $ é a altura de queda ( 9,81 , m/s^2)
  • $ \eta $ é o rendimento total da turbina (95% ou 0,95)
Substituindo os valores:
Q á

Passo 5

Calculando isso:
Phidráulica approx 1000 times 9,81 times 153 times 89,5 times 0,95 approx 1.270.000.000 , W ou 1,27 times 10^9 , W á
Essa é a potência disponível para gerar eletricidade.

Passo 6

Agora, sabendo que o gerador está conectado diretamente à turbina, a potência mecânica no gerador é a mesma que a potência hidráulica calculada. A potência elétrica gerada pode ser relacionada à velocidade de rotação e ao número de polos usando a fórmula de frequência que mencionamos antes:
60 = P times n120
Vamos reorganizar para encontrar $ P $:
P
Mas precisamos saber a velocidade $ n $ do gerador para prosseguir.

Passo 7

Para encontrar $ n $, usamos a relação entre potência, torque e velocidade:
n
Onde:
  • $ \tau $ é o torque
  • $ \omega $ é a velocidade angular em radianos por segundo
No entanto, sem detalhes adicionais sobre o torque, vamos assumir que a velocidade padrão de geração para uma usina hidrelétrica seja de 100 rpm para facilitar o cálculo. (Nota: Em situações reais, a velocidade seria determinada pelo projeto específico da turbina e do gerador.)

Passo 8

Usando $ n = 150 , rpm $ (um valor comum para geradores de usinas hidrelétricas):
n = 150 , rpm ó

Resposta

O número de polos do gerador de 60 Hz é 48 pólos.

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