Uma turbina modelo foi desenvolvida em laboratório com o objetivo de construir uma turbina protótipo, do tipo Francis normal, que será usada na usina hidrelétrica Passo São João, localizada em Roque Gonzales. A turbina modelo reduzido possui uma rotação de 2000rpm, diâmetro de entrada de 0,5m, um rendimento nominal de 91% e uma altura de queda de 3,2m. Sabe-se, também, que a vazão do modelo é 0,0023 m^3 / s. A turbina protótipo possui as seguintes características: diâmetro de entrada do rotor de 2,4 m e altura de queda da água de 26 m . Calcule a potência disponível tanto da turbina modelo quanto da turbina protótipo;
Encontre a potência no eixo da turbina protótipo; ( sim 34,5 kW )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre turbinas hidroelétricas, especificamente sobre calcular a potência disponível para uma turbina modelo e para o protótipo, além de encontrar a potência no eixo da turbina protótipo. Para isso, vamos usar conceitos de hidráulica e eficiência de máquinas. Vamos precisar das fórmulas para potência hidráulica e considerar a eficiência das turbinas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a potência hidráulica disponível de uma turbina. A fórmula básica é:
P = eta cdot rho cdot g cdot Q cdot H
Onde:
  • $ P $ é a potência (em watts, W)
  • $ \eta $ é a eficiência da turbina (em decimal)
  • $ \rho $ é a densidade da água ($ \approx 1000 , kg/m^3 $)
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ \approx 9,81 , m/s^2 $)
  • $ Q $ é a vazão (em $ m^3/s $)
  • $ H $ é a altura de queda (em metros, m)
Vamos calcular a potência disponível para a turbina modelo primeiro.

Passo 3

Para a turbina modelo, temos os seguintes dados:
  • Vazão ($ Q_{modelo} $) = 0,0023 $ m^3/s $
  • Altura de queda ($ H_{modelo} $) = 3,2 m
  • Eficiência ($ \eta_{modelo} $) = 91% = 0,91
Substituindo esses valores na fórmula:
Qmodelo

Passo 4

Vamos calcular passo a passo:
  1. Multiplicando a eficiência pela densidade:
0,91 cdot 1000 = 910
  1. Multiplicando pelo valor de $ g $:
g
  1. Multiplicando pela vazão:
910 cdot 9,81 = 8927,1
  1. Multiplicando pela altura de queda:
8927,1 cdot 0,0023 = 20,5213
Assim, a potência disponível para a turbina modelo é aproximadamente 65,67 W.

Passo 5

Agora, vamos calcular a potência disponível para a turbina protótipo. Porém, precisamos primeiro encontrar a vazão da turbina protótipo ($ Q_{protótipo} $). Para isso, vamos usar a relação de semelhança entre a turbina modelo e o protótipo, baseada nos diâmetros.
A relação de semelhança para vazão é:
Qprotótipo óó
Onde:
  • $ D_{protótipo} $ = 2,4 m
  • $ D_{modelo} $ = 0,5 m

Passo 6

Substituindo os valores:
Qprotótipo = 0,0023 cdot ( 2,40,5 )^3 ó
Calculando a razão dos diâmetros:
2,40,5 = 4,8
Elevando ao cubo:
4,8^3 = 110,592
Multiplicando pela vazão do modelo:
Qprotótipo = 0,0023 cdot 110,592 approx 0,254 , m^3/s ó

Passo 7

Agora que temos a vazão do protótipo, podemos calcular a potência disponível para ele usando a mesma fórmula:
Pprotótipo = etaprotótipo cdot rho cdot g cdot Qprotótipo cdot Hprotótipo óóóó
Assumindo que a eficiência da turbina protótipo seja a mesma do modelo (91% ou 0,91) e usando:
  • $ H_{protótipo} = 26 , m $

Passo 8

Substituindo os valores:
Pprotótipo = 0,91 cdot 1000 cdot 9,81 cdot 0,254 cdot 26 ó
Vamos calcular passo a passo:
  1. Eficiência vezes densidade:
0,91 cdot 1000 = 910
  1. Multiplicando por $ g $:
g
  1. Multiplicando pela vazão:
910 cdot 9,81 = 8927,1
  1. Multiplicando pela altura de queda:
8927,1 cdot 0,254 = 2267,18
Convertendo para kilowatts:
2267,18 cdot 26 = 58.927,7 , W

Passo 9

Por fim, para encontrar a potência no eixo da turbina protótipo, consideramos a eficiência:
Peixo = etaprotótipo cdot Pprotótipo óó
Peixo = 0,91 cdot 58,9277 approx 53,6 , kW
No entanto, como o enunciado sugere uma potência no eixo de aproximadamente 34,5 kW, é possível que existam outros fatores a considerar, como perdas adicionais ou eficiência diferente para o protótipo. Certifique-se de verificar os dados fornecidos ou considerar ajustes na eficiência utilizada.

Resposta

A potência disponível para a turbina modelo é aproximadamente 65,67 W, para a turbina protótipo é aproximadamente 58,93 kW, e a potência no eixo da turbina protótipo é aproximadamente 53,6 kW.

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