Quer-se projetar um trocador de calor para resfriar \dot{m}=8,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de uma solução de álcool etílico, \mathrm{cp}=3840 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, de 75^{\circ} \mathrm{C} para 45^{\circ} \mathrm{C} com água fria, \mathrm{cp}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} entrando no lado dos tubos a 15^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão de \dot{m}=9,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O coeficiente de transferência de calor global baseado na superficie externa do tubo é \mathrm{U}_{\mathrm{d}}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}. Calcule a área de transferência de calor em cada uma das seguintes situações:
b) Contracorrente no casco e no tubo

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (peguei todos os números do enunciado). Dados:
  • Massa do fluido quente (álcool etílico): \dot{m}_h = 8,7\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calor específico do fluido quente: c_{p,h} = 3840\\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}.
  • Temperatura de entrada do quente: T_{h,in} = 75^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura de saída desejada do quente: T_{h,out} = 45^\circ\mathrm{C}.
  • Massa do fluido frio (água): \dot{m}_c = 9,6\\ \mathrm{kg/s}.
  • Calor específico do frio: c_{p,c} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot{}^\circ C)}.
  • Temperatura de entrada do frio: T_{c,in} = 15^\circ\mathrm{C}.
  • Coeficiente global (baseado na superfície externa do tubo): U_d = 500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot{}^\circ C)}.
    O enunciado pede: calcular a área de troca térmica do trocador quando o escoamento é contracorrente (casco contra tubo), ou seja, um trocador simples contra-corrente (1 passe em cada lado), sem necessidade de fator de correção ( F=1 ).

Passo 2

Calcular a potência térmica (taxa de calor) transferida, usando balanço de energia no fluido quente. Fórmula e explicação:
\dot{Q}=\dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}).
Aqui \dot{Q} é a potência térmica (em \mathrm{W}), \dot{m}_h é vazão mássica do quente, c_{p,h} é calor específico do quente e a diferença de temperaturas é o esfriamento do quente. Substituindo:
\dot{Q}=8{,}7\cdot 3840\cdot(75-45)\\ \mathrm{W}.
Primeiro calcule 75-45=30. Depois
\dot{Q}=8{,}7\cdot 3840\cdot 30=1{,}002{,}240\\ \mathrm{W}.
Portanto \dot{Q}=1{,}002{,}240\\ \mathrm{W} (aprox. 1,00\times10^{6}\\ \mathrm{W}).

Passo 3

Verificar a temperatura de saída do lado frio (energia cedida ao fluido frio). Usamos:
T_{c,out}=T_{c,in}+\dfrac{\dot{Q}}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}.
Explicação: toda a potência \dot{Q} que sai do quente entra no frio (assumimos sem perdas). Substituindo:
\dot{m}_c\,c_{p,c}=9{,}6\cdot 4180=40{,}128\\ \mathrm{W/^\circ C}.
Então
\Delta T_c=\dfrac{\dot{Q}}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}=\dfrac{1{,}002{,}240}{40{,}128}=24{,}976\\ ^\circ\mathrm{C}.
Logo
T_{c,out}=15+24{,}976=39{,}976^\circ\mathrm{C}\approx 39{,}98^\circ\mathrm{C}.
Comentário prático: T_{c,out} é menor que T_{h,in} e também menor que T_{h,out} é maior que T_{c,in}; isso é coerente para um trocador contracorrente e mostra que o projeto é viável (o frio não ultrapassa a temperatura do quente de saída).

Passo 4

Calcular as diferenças de temperatura nas extremidades necessárias para o LMTD. Para contracorrente definimos:
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out}, \qquad \Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in}.
Substituindo os valores (peguei T_{c,out} do Passo 3):
\Delta T_1 = 75 - 39{,}976 = 35{,}024^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 45 - 15 = 30^\circ\mathrm{C}.

Passo 5

Calcular o Log Mean Temperature Difference (LMTD). Fórmula e explicação:
\Delta T_{lm}=\dfrac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
O LMTD representa uma média logarítmica das diferenças de temperatura ao longo do trocador para escoamentos contracorrente (é a fórmula padrão quando F=1). Substituindo numericamente:
\Delta T_1-\Delta T_2=35{,}024-30=5{,}024^\circ\mathrm{C},
\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)=\ln\!\left(\dfrac{35{,}024}{30}\right)=\ln(1{,}16746)=0{,}15468.
Portanto
\Delta T_{lm}=\dfrac{5{,}023914}{0{,}15468}\approx 32{,}48^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Usar a relação entre potência térmica, coeficiente global, área e LMTD para achar a área. Fórmula:
\dot{Q}=U_d\,A\,\Delta T_{lm}.
Isolando A:
A=\dfrac{\dot{Q}}{U_d\,\Delta T_{lm}}.
Substituindo os valores:
A=\dfrac{1{,}002{,}240}{500\cdot 32{,}48}=\dfrac{1{,}002{,}240}{16{,}240}\approx 61{,}7\\ \mathrm{m}^2.
Explicação: usei U_d já baseado na superfície externa do tubo (como indicado), e por ser um trocador contracorrente simples não foi necessário aplicar fator de correção F (ou seja F=1).

Passo 7

Verificação rápida: as ordens de grandeza são coerentes (potência de \sim 1\\ \mathrm{MW} e coeficiente moderado dão área na ordem de algumas dezenas de \mathrm{m}^2). Arredondei a área para uma casa decimal para relatório.

Resposta

A = 61,7\\ \mathrm{m}^2

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