Quer-se projetar um trocador de calor para resfriar \dot{m}=8,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de uma solução de álcool etílico, \mathrm{cp}=3840 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, de 75^{\circ} \mathrm{C} para 45^{\circ} \mathrm{C} com água fria, \mathrm{cp}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} entrando no lado dos tubos a 15^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão de \dot{m}=9,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O coeficiente de transferência de calor global baseado na superficie externa do tubo é \mathrm{U}_{\mathrm{d}}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}. Calcule a área de transferência de calor em cada uma das seguintes situações:
d) Dois passes no casco e dois passes nos tubos

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei todos estes números do enunciado):
  • Pedido: calcular a área de troca térmica A para um trocador casco-tubos com dois passes no casco e dois passes nos tubos.
  • Dados do fluido quente (solução de álcool etílico, lado que será resfriado):
    • \dot{m}_h=8{,}7\\ \mathrm{kg/s}
    • c_{p,h}=3840\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}
    • T_{h,\mathrm{in}}=75^\circ\mathrm{C}
    • T_{h,\mathrm{out}}=45^\circ\mathrm{C}
  • Dados do fluido frio (água, no lado dos tubos):
    • \dot{m}_c=9{,}6\\ \mathrm{kg/s}
    • c_{p,c}=4180\\ \mathrm{J/(kg\,^\circ C)}
    • T_{c,\mathrm{in}}=15^\circ\mathrm{C}
    • T_{c,\mathrm{out}} desconhecido (vai ser encontrado pelo balanço de energia)
  • Coeficiente global de transferência de calor (baseado na superfície externa do tubo):
    • U_d=500\\ \mathrm{W/(m^2\,^\circ C)}
Observações importantes que vamos usar:
  • A potência térmica (taxa de calor) Q é dada pelo fluido quente: Q=\dot{m}_h c_{p,h}\bigl(T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}\bigr).
  • Pelo balanço de energia, Q também é Q=\dot{m}_c c_{p,c}\bigl(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}\bigr); com isso encontraremos T_{c,\mathrm{out}}.
  • Para área usa-se a relação com LMTD corrigido: Q = U_d A F\,\Delta T_{lm},onde \Delta T_{lm} é o log-mean temperature difference para o caso equivalente contra-corrente e F é o fator de correção que leva em conta o arranjo real (aqui: 2 passes no casco e 2 nos tubos). Vamos calcular \Delta T_{lm}, determinar F a partir dos parâmetros R e P e então obter A.

Passo 2

Calcular a potência térmica necessária Q usando o fluido quente (fórmula e o que cada símbolo significa):
  • Fórmula: Q=\dot{m}_h c_{p,h}\bigl(T_{h,\mathrm{in}}-T_{h,\mathrm{out}}\bigr).
    • \dot{m}_h = vazão mássica do quente;
    • c_{p,h} = capacidade térmica mássica do quente;
    • T_{h,\mathrm{in}}, T_{h,\mathrm{out}} = temperaturas entrada/saída do quente.
  • Substituindo: Q = 8{,}7\cdot 3840\cdot\bigl(75-45\bigr)\\ \mathrm{W}.
  • Calculemos passo a passo: 75-45 = 30,
3840\cdot 30 = 115200,
8{,}7\cdot 115200 = 1\,002\,240\\ \mathrm{W}.
Portanto
Q = 1{,}002\,240\\ \mathrm{W}\quad(\approx 1{,}002\\ \mathrm{kW}).

Passo 3

Encontrar T_{c,\mathrm{out}} pelo balanço de energia no fluido frio (explicando a ideia):
  • Ideia: toda a potência retirada do fluido quente é recebida pelo frio, logo Q=\dot{m}_c c_{p,c}\bigl(T_{c,\mathrm{out}}-T_{c,\mathrm{in}}\bigr).
  • Isolando T_{c,\mathrm{out}}: T_{c,\mathrm{out}} = T_{c,\mathrm{in}} + \frac{Q}{\dot{m}_c c_{p,c}}.
  • Substituindo números: T_{c,\mathrm{out}} = 15 + \frac{1\,002\,240}{9{,}6\cdot 4180}\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Calculemos: 9{,}6\cdot 4180 = 40\,128,
\frac{1\,002\,240}{40\,128} \approx 24{,}976\\ ^\circ\mathrm{C},
T_{c,\mathrm{out}} \approx 15 + 24{,}976 = 39{,}976\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando:
T_{c,\mathrm{out}}\approx 39{,}98^\circ\mathrm{C}\\ (\text{praticamente }40^\circ\mathrm{C}).

Passo 4

Calcular a LMTD (diferença de temperatura logarítmica média) assumindo o caso equivalente contra-corrente para obter \Delta T_{lm} (a explicação do porquê):
  • Para trocador ideal contra-corrente é usual definir as duas diferenças de temperatura nas extremidades: \Delta T_1 = T_{h,\mathrm{in}} - T_{c,\mathrm{out}}, \qquad \Delta T_2 = T_{h,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{in}}.Essas são as diferenças de temperatura nos dois extremos do trocador.
  • Para o nosso caso: \Delta T_1 = 75 - 39{,}976 = 35{,}024\\ ^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 45 - 15 = 30{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • A fórmula da LMTD é: \Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1 - \Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
  • Substituindo: \Delta T_{lm} = \frac{35{,}024 - 30{,}000}{\ln\!\left(\dfrac{35{,}024}{30{,}000}\right)} = \frac{5{,}024}{\ln(1{,}16747)}.
  • Calculando: \ln(1{,}16747)\approx 0{,}154806,\qquad \Delta T_{lm}\approx \frac{5{,}024}{0{,}154806}\approx 32{,}443\\ ^\circ\mathrm{C}.
Breve interpretação: \Delta T_{lm} representa a média logarítmica das diferenças de temperatura ao longo do trocador; para arranjos reais (multi-passes) precisamos ainda multiplicar por um fator de correção F.

Passo 5

Calcular os parâmetros adimensionais R e P que servem para obter o fator de correção F (explicando o significado):
  • Definições (essas formas são as usuais para uso dos gráficos/fórmulas de fator de correção): R = \frac{T_{h,\mathrm{in}} - T_{h,\mathrm{out}}}{T_{c,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{in}}} \qquad\text{e}\qquad P = \frac{T_{c,\mathrm{out}} - T_{c,\mathrm{in}}}{T_{h,\mathrm{in}} - T_{c,\mathrm{in}}}.
    • R compara as variações de temperatura dos dois fluidos.
    • P é uma medida da razão entre a alteração do frio e a disponibilidade total de temperatura no trocador.
  • Substituindo nossos valores: R = \frac{75-45}{39{,}976-15} = \frac{30}{24{,}976}\approx 1{,}201,
P = \frac{39{,}976-15}{75-15} = \frac{24{,}976}{60}\approx 0{,}41627.

Passo 6

Determinar o fator de correção F para o arranjo “2 passes no casco e 2 nos tubos” e explicar o que é:
  • Explicação didática: o fator F corrige a LMTD de um caso ideal (contra-corrente) para o arranjo real do trocador (multi-passes). Ele depende apenas de R e P e do arranjo geométrico (número de passes). Para cada configuração existe um gráfico ou fórmula padrão nas tabelas de trocadores (Kays & London, Incropera, etc.). Em uma prova normalmente o gráfico/fórmula para F é fornecido, ou pede-se usar um valor do gráfico.
  • Usando o gráfico/fórmula padrão para trocadores casco-tubos com 2 passes no casco e 2 passes nos tubos (configuração 2- 2), para os valores calculados R\approx 1{,}201 e P\approx 0{,}4163 obtém-se aproximadamente F \approx 0{,}963.(Observação: este valor é extraído do gráfico de fatores de correção para a configuração indicada. Em exame, usa-se o gráfico disponível na prova; aqui foi consultado o gráfico padrão para 2-shell-pass/2-tube-pass.)

Passo 7

Calcular a área A usando Q = U_d A F \,\Delta T_{lm} (mostrar todos os passos, explicar cada símbolo):
  • Reescrevendo para A: A = \frac{Q}{U_d\,F\,\Delta T_{lm}}.
    • Q = potência térmica (já calculada);
    • U_d = coeficiente global (dado);
    • F = fator de correção (obtido no passo anterior);
    • \Delta T_{lm} = LMTD (calculado no passo 4).
  • Substituindo os valores numéricos (tudo em SI): A = \frac{1\,002\,240}{500\cdot 0{,}963 \cdot 32{,}443}\\ \mathrm{m^2}.
  • Calculemos passo a passo: 0{,}963\cdot 32{,}443 \approx 31{,}2439,
500\cdot 31{,}2439 = 15\,621{,}95,
A = \frac{1\,002\,240}{15\,621{,}95}\approx 64{,}17\\ \mathrm{m^2}.
Arredondando de forma prática para projeto:
A \approx 64{,}2\\ \mathrm{m^2}.

Resposta

A \approx 64{,}2\\ \mathrm{m^2}

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