Quer-se projetar um trocador de calor para resfriar \dot{m}=8,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de uma solução de álcool etílico, \mathrm{cp}=3840 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, de 75^{\circ} \mathrm{C} para 45^{\circ} \mathrm{C} com água fria, \mathrm{cp}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} entrando no lado dos tubos a 15^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão de \dot{m}=9,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O coeficiente de transferência de calor global baseado na superficie externa do tubo é \mathrm{U}_{\mathrm{d}}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}. Calcule a área de transferência de calor em cada uma das seguintes situações:
c) Um passe no casco e dois passes nos tubos

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede para este item (c).
Dados fornecidos:
  • Fluido quente (solução etílica):
    • \dot{m}_h = 8{,}7\\ \mathrm{kg/s}
    • c_{p,h} = 3840\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)}
    • temperatura de entrada T_{h,in}=75^\circ\mathrm{C}
    • temperatura de saída desejada T_{h,out}=45^\circ\mathrm{C}
  • Fluido frio (água, entra pelo lado dos tubos):
    • \dot{m}_c = 9{,}6\\ \mathrm{kg/s}
    • c_{p,c} = 4180\\ \mathrm{J/(kg\cdot ^\circ C)}
    • temperatura de entrada T_{c,in}=15^\circ\mathrm{C}
  • Coeficiente global baseado na superfície externa do tubo:
    • U_d = 500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)}
  • Configuração pedida: um passe no casco e dois passes nos tubos (trocador do tipo 1-2).
  • O que é pedido: calcular a área de transferência de calor A para esta configuração.

Passo 2

Calcular a vazão de calor requerida (potência térmica) pelo resfriamento do fluido quente.
Princípio: a energia retirada do fluido quente é
Q=\dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out}).
Explicação didática: \dot{m}_h é a massa que passa por segundo, c_{p,h} é a energia necessária para elevar 1 kg do fluido em 1 °C; o produto \dot{m}_h c_{p,h} é a capacidade térmica em W/°C do fluxo quente. Multiplicando pela diferença de temperatura obtemos a potência térmica.
Cálculo:
Q = 8{,}7\cdot 3840\cdot (75-45)\\ \mathrm{W}.
Primeiro 8{,}7\cdot 3840 = 33408. Então
Q = 33408\cdot 30 = 1{,}002{,}240\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a temperatura de saída do fluido frio (água) pela conservação de energia.
Princípio: a energia ganha pelo frio é igual à energia perdida pelo quente (assumindo sem perdas externas):
Q=\dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,out}-T_{c,in}).
Resolvendo para T_{c,out}:
T_{c,out}=T_{c,in}+\frac{Q}{\dot{m}_c\,c_{p,c}}.
Cálculo numérico:
\dot{m}_c\,c_{p,c}=9{,}6\cdot 4180=40{,}128\\ \mathrm{W/^\circ C}.
\Delta T_c=\frac{Q}{\dot{m}_c c_{p,c}}=\frac{1{,}002{,}240}{40{,}128}\approx 24{,}98^\circ\mathrm{C}.
T_{c,out}=15^\circ\mathrm{C}+24{,}98^\circ\mathrm{C}\approx 39{,}98^\circ\mathrm{C}\\ (\text{aprox }40,0^\circ\mathrm{C}).
Comentário: é bom verificar que T_{c,out}<T_{h,in} e faz sentido físico (a água não passa a temperatura do fluido quente de forma irrestrita).

Passo 4

Calcular a diferença logarítmica média de temperatura (LMTD) para o caso equivalente de fluxo em contracorrente e explicar o conceito.
Conceito: para trocadores de calor com superfície uniforme, uma forma prática é usar a relação
Q=U\,A\,\Delta T_{lm}\,F,
onde \Delta T_{lm} é a diferença logarítmica média de temperatura para um trocador de fluxo simples (contra ou paralelo) e F é um fator de correção que ajusta \Delta T_{lm} quando a disposição real (multi-passes) não é um perfeito contrafluxo. Aqui vamos primeiro calcular a \Delta T_{lm} hipotética (contracorrente) e depois aplicar F apropriado a 1-2.
Definição de \Delta T_{lm} (contracorrente):
\Delta T_{lm}=\frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)},
onde
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out},\qquad \Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in}.
Cálculo:
\Delta T_1 = 75 - 39{,}98 = 35{,}02^\circ\mathrm{C},
\Delta T_2 = 45 - 15 = 30{,}00^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_{lm}=\frac{35{,}02-30{,}00}{\ln\!\left(\dfrac{35{,}02}{30{,}00}\right)} =\frac{5{,}02}{\ln(1{,}16733)}\approx\frac{5{,}02}{0{,}1548}\approx 32{,}44^\circ\mathrm{C}.
Explicação intuitiva: \Delta T_{lm} é uma média ponderada (logarítmica) das diferenças de temperatura nas extremidades, que aparece naturalmente ao integrar a troca de calor ao longo do comprimento do trocador.

Passo 5

Calcular os parâmetros R e P usados para obter o fator de correção F do trocador 1-2 e explicar o que eles representam.
Definições padrão (usadas em cartas/fórmulas de fator de correção):
R=\frac{T_{h,in}-T_{h,out}}{T_{c,out}-T_{c,in}},\qquad P=\frac{T_{c,out}-T_{c,in}}{T_{h,in}-T_{c,in}}.
Interpretação rápida: R é a razão entre as quedas de temperatura dos dois fluidos; P mede a fração da elevação de temperatura do frio em relação ao diferencial máximo possível entre T_{h,in} e T_{c,in}.
Cálculo numérico:
R=\frac{75-45}{39{,}98-15}=\frac{30}{24{,}98}\approx 1{,}20,
P=\frac{24{,}98}{75-15}=\frac{24{,}98}{60}\approx 0{,}416.

Passo 6

Explicar o fator de correção F e escolher um valor apropriado para a configuração 1-2 (um passe no casco e dois passes nos tubos).
Explicação didática: o fator F (também chamado factor de correção de LMTD) ajusta a \Delta T_{lm} calculada como se o trocador fosse contra-corrente perfeita para o arranjo real (aqui 1 shell pass × 2 tube passes). Valores de F são obtidos por fórmulas analíticas ou gráficos padrão (chart de correção) em função de R e P. Para configurações 1-2, F costuma ser próximo de 1 quando os perfis térmicos são parecidos, mas deve ser usado o gráfico/fórmula para precisão.
Aplicação prática: usando o gráfico/fórmula padrão de fator de correção para trocadores do tipo 1-2 com os valores obtidos R\approx 1{,}20 e P\approx 0{,}416, o fator de correção vale aproximadamente
F\approx 0{,}954.
Observação: em provas é comum usar a carta F(R,P) ou a expressão analítica; aqui estou indicando o valor numérico lido da carta correspondente. Esse F significa que a diferença de temperatura efetiva é um pouco menor que a do contracorrente ideal.

Passo 7

Calcular a área de transferência de calor A usando Q=U_d\,A\,(F\Delta T_{lm}).
Fórmula:
A=\frac{Q}{U_d\,F\,\Delta T_{lm}}.
Substituindo valores (todos os termos já foram calculados):
Q=1{,}002{,}240\\ \mathrm{W},\qquad U_d=500\\ \mathrm{W/(m^2\cdot^\circ C)},\qquad F=0{,}954,\qquad \Delta T_{lm}=32{,}44^\circ\mathrm{C}.
Calcule primeiro F\,\Delta T_{lm}:
F\,\Delta T_{lm}=0{,}954\cdot 32{,}44\approx 30{,}95^\circ\mathrm{C}.
Agora a área:
A=\frac{1{,}002{,}240}{500\cdot 30{,}95} =\frac{1{,}002{,}240}{15{,}475}\approx 64{,}8\\ \mathrm{m^2}.
Verificação rápida de ordem de grandeza: com U de 500 W/m^2°C e ΔT efetiva ≈31°C, cada m^2 troca ≈15{,}500 W, então para ~1,0 MW precisamos ≈65 m^2 — compatível com o cálculo.

Resposta

A\approx 64{,}8\\ \mathrm{m^2}

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