Quer-se projetar um trocador de calor para resfriar \dot{m}=8,7 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de uma solução de álcool etílico, \mathrm{cp}=3840 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}, de 75^{\circ} \mathrm{C} para 45^{\circ} \mathrm{C} com água fria, \mathrm{cp}=4180 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C} entrando no lado dos tubos a 15^{\circ} \mathrm{C} a uma vazão de \dot{m}=9,6 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}. O coeficiente de transferência de calor global baseado na superficie externa do tubo é \mathrm{U}_{\mathrm{d}}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{20} \mathrm{C}. Calcule a área de transferência de calor em cada uma das seguintes situações:
e) Correntes cruzadas, ambos os fluidos não misturados.

Passo 1

O enunciado pede a área de troca térmica para um trocador em correntes cruzadas, ambos os fluidos não misturados, usando os dados fornecidos. Dados importantes (pego diretamente do enunciado):
  • Fluido quente (solução de álcool etílico):
    • \dot{m}_h = 8,7\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}
    • c_{p,h} = 3840\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}
    • temperatura de entrada T_{h,i}=75^\circ\mathrm{C}
    • temperatura de saída desejada T_{h,o}=45^\circ\mathrm{C}
  • Fluido frio (água):
    • \dot{m}_c = 9,6\\ \mathrm{kg}/\mathrm{s}
    • c_{p,c} = 4180\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}
    • temperatura de entrada T_{c,i}=15^\circ\mathrm{C}
  • Coeficiente global baseado na superfície externa do tubo:
    • U_d = 500\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2\cdot{}^\circ\mathrm{C}
O objetivo: calcular a área de troca térmica A para a configuração “cross-flow, ambos não misturados”.

Passo 2

Calcular a vazão térmica (taxa de calor) usando o fluido quente (energia retirada do fluido quente):
Q = \dot{m}_h\, c_{p,h}\,(T_{h,i}-T_{h,o}).
Substituindo:
Q = 8{,}7\cdot 3840\cdot (75-45) =8{,}7\cdot 3840\cdot 30.
Fazendo as contas:
3840\cdot 30 = 115200,
Q = 8{,}7\cdot 115200 = 1002240\\ \mathrm{W}.

Passo 3

Calcular a temperatura de saída do fluido frio aplicando balanço de energia (todo o calor perdido pelo quente é ganho pelo frio):
Q = \dot{m}_c\, c_{p,c}\,(T_{c,o}-T_{c,i}).
Isolando T_{c,o}:
T_{c,o}=T_{c,i}+\frac{Q}{\dot{m}_c\, c_{p,c}}.
Compute:
\dot{m}_c\, c_{p,c} = 9{,}6\cdot 4180 = 40128\\ \mathrm{J}/\mathrm{s}\cdot{}^\circ\mathrm{C}.
\Delta T_c = \frac{1002240}{40128}\approx 24{,}99^\circ\mathrm{C},
T_{c,o} = 15 + 24{,}99 \approx 39{,}99^\circ\mathrm{C}.
Observação intuitiva: a água sai em cerca de 40^\circ\mathrm{C}, abaixo dos 45^\circ\mathrm{C} do fluido quente como esperado.

Passo 4

Calcular as capacitâncias térmicas (heat capacity rates) e suas relações:
C_h = \dot{m}_h\, c_{p,h} = 8{,}7\cdot 3840 = 33408\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C},
C_c = \dot{m}_c\, c_{p,c} = 9{,}6\cdot 4180 = 40128\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C}.
Determinar C_{\min}, C_{\max} e a razão de capacitâncias:
C_{\min} = 33408\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C},\qquad C_{\max} = 40128\\ \mathrm{W}/^\circ\mathrm{C},
C_r = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{33408}{40128}\approx 0{,}8325.

Passo 5

Calcular a efetividade \epsilon a partir do calor efetivamente transferido e do calor máximo possível:
\epsilon = \frac{Q}{C_{\min}\,(T_{h,i}-T_{c,i})}.
Onde (T_{h,i}-T_{c,i}) é a diferença de temperatura máxima disponível (apenas para referência).
Substituindo:
T_{h,i}-T_{c,i}=75-15=60^\circ\mathrm{C},
\epsilon = \frac{1002240}{33408\cdot 60} = \frac{1002240}{2004480} = 0{,}5.
Portanto a efetividade do trocador, com as temperaturas e vazões dadas, é \epsilon=0{,}5.

Passo 6

Apresentar o método NTU/efetividade para cross-flow, ambos os fluidos não misturados.
  • Definição de \mathrm{NTU} (Number of Transfer Units):
\mathrm{NTU}=\frac{U_d\, A}{C_{\min}}.
Aqui A é a área de troca (a que queremos) e U_d é o coeficiente dado baseado na superfície externa do tubo.
  • Para o caso “crossflow, ambos os fluidos não misturados” existe uma correlação padrão (Kays & London / Incropera & DeWitt) para a efetividade:
\epsilon = 1-\exp\!\left[-\,\mathrm{NTU}^{0{,}22}\,\frac{1-\exp\!\big(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}78}\big)}{C_r}\right].
Explicação rápida da fórmula:
  • \mathrm{NTU}^{0{,}22} e \mathrm{NTU}^{0{,}78} são expoentes empíricos que surgem da solução aproximada para escoamento em correntes cruzadas com elementos discretos (tubos).
  • C_r é a razão C_{\min}/C_{\max} já calculada.
  • A fórmula reduz-se corretamente aos limites conhecidos: se C_r\to 0 ela dá \epsilon = 1-\exp(-\mathrm{NTU}), que é o caso esperado quando um dos fluidos tem capacitância muito maior.
O plano: com \epsilon e C_r conhecidos, resolver numericamente a equação acima para \mathrm{NTU}, e então obter A pela definição de NTU:
A = \frac{\mathrm{NTU}\, C_{\min}}{U_d}.

Passo 7

Resolver numericamente para \mathrm{NTU} sabendo \epsilon=0{,}5 e C_r\approx 0{,}8325.
Definindo a função:
f(\mathrm{NTU}) = 1-\exp\!\left[-\,\mathrm{NTU}^{0{,}22}\,\frac{1-\exp\!\big(-C_r\,\mathrm{NTU}^{0{,}78}\big)}{C_r}\right] - 0{,}5.
Desejamos f(\mathrm{NTU})=0.
Avaliações numéricas (mostrando passos para poder reproduzir na prova):
  • Para \mathrm{NTU}=1{,}0: \mathrm{NTU}^{0{,}22}=1{,}0,\qquad \mathrm{NTU}^{0{,}78}=1{,}0,
1-\exp(-C_r\cdot 1{,}0)=1-\exp(-0{,}8325)\approx 0{,}5649,
\text{expoente} = -1{,}0^{0{,}22}\cdot\frac{0{,}5649}{0{,}8325}\approx -0{,}6785,
\epsilon \approx 1-\exp(-0{,}6785)\approx 0{,}4926.
Resultado: \epsilon(1{,}0)\approx 0{,}4926 (um pouco menor que 0{,}5).
  • Para \mathrm{NTU}=1{,}1: \mathrm{NTU}^{0{,}22}\approx 1{,}0212,\qquad \mathrm{NTU}^{0{,}78}\approx 1{,}0771,
1-\exp(-C_r\cdot 1{,}0771)\approx 0{,}5921,
\text{expoente}\approx -1{,}0212\cdot\frac{0{,}5921}{0{,}8325}\approx -0{,}7260,
\epsilon \approx 1-\exp(-0{,}7260)\approx 0{,}5163.
Resultado: \epsilon(1{,}1)\approx 0{,}5163 (um pouco maior que 0{,}5).
Como a função cruza 0{,}5 entre \mathrm{NTU}=1{,}0 e 1{,}1, interpolemos para refinar. Interpolação linear simples entre os dois pontos dá:
\mathrm{NTU}\approx 1{,}0 + \frac{0{,}5-0{,}4926}{0{,}5163-0{,}4926}\cdot 0{,}1 \approx 1{,}031.
Testando \mathrm{NTU}=1{,}031 (cálculo similar aos anteriores) obtém-se \epsilon\approx 0{,}500 dentro de erro numérico aceitável. Portanto tomamos
\mathrm{NTU}\approx 1{,}03.

Passo 8

Calcular a área A a partir de \mathrm{NTU}:
A=\frac{\mathrm{NTU}\, C_{\min}}{U_d}.
Substituindo valores:
A=\frac{1{,}03\cdot 33408}{500}.
Fazendo as contas:
1{,}03\cdot 33408 = 34410{,}24,
A = \frac{34410{,}24}{500} \approx 68{,}82\\ \mathrm{m}^2.
Um comentário de incentivo: chegamos ao resultado com passos mecânicos — calcular Q, achar \epsilon, usar a correlação de efetividade-NTU para o caso cross-flow (ambos não misturados) e então achar \mathrm{NTU} e A. Na prova, siga essa receita passo a passo que é robusta e repetível.

Resposta

A \approx 68{,}82\\ \mathrm{m}^2

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