Querosene a 20^{\circ} \mathrm{C}\left(\rho=890 \frac{\mathrm{~kg}}{\mathrm{~m}^{3}}, \mu=1.6410^{-3} \mathrm{~Pa} . \mathrm{s}\right) é bombeado a 0,01 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s} por 20 km de tubo horizontal de 16 cm de diâmetro. Calcule a potência necessária de entrada em kW, se as bombas têm 85 \% de rendimento. Qual tipo de bomba você recomendaria para esta instalação sabendo que a rotação imposta pelo motor disponível é de 3600 rpm ?
Dados:
N, baseado em n(\mathrm{rpm}) ; Q(\mathrm{gpm}) e H_{z}(\mathrm{ft})
Centrifuga radial N_{s}<2000
Centrifuga tipo Francis 2000<N_{s}<4200
Fluxo misto 4200<N_{s}<9000
Axial N_{s}>9000

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedidos:
    1. Calcular a potência necessária de entrada (em kW) para bombear o querosene pela tubulação, sabendo que as bombas têm rendimento de 85\%.
    2. Indicar o tipo de bomba recomendado sabendo que a rotação disponível é de 3600\\ \mathrm{rpm}, usando a tabela de N_s fornecida.
  • Dados fornecidos:
    • Vazão: Q = 0,01\\ \mathrm{m^3/s}.
    • Comprimento do tubo: L = 20\\ \mathrm{km} = 20000\\ \mathrm{m}.
    • Diâmetro do tubo: D = 0,16\\ \mathrm{m}.
    • Densidade do querosene: \rho = 890\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Viscosidade dinâmica: \mu = 1,64\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.
    • Rendimento da(s) bomba(s): \eta = 0{,}85.
    • Rotação disponível: n = 3600\\ \mathrm{rpm}.
    • Tabela de seleção por velocidade específica N_s baseada em n(\mathrm{rpm}), Q(\mathrm{gpm}) e H(\mathrm{ft}):
      • Centrífuga radial: N_s<2000.
      • Centrífuga tipo Francis: 2000<N_s<4200.
      • Fluxo misto: 4200<N_s<9000.
      • Axial: N_s>9000.
Observação: para dimensionar potência hidráulica preciso primeiro obter a perda de carga por atrito h_f na tubulação; para isso vou calcular velocidade média, número de Reynolds, fator de atrito e então a perda de carga via equação de Darcy–Weisbach.

Passo 2

Área da secção e velocidade média do escoamento (passo-algoritmo direto e explicação curta).
  • Área da seção circular: A=\frac{\pi D^{2}}{4}.
Substituindo D=0,16\\ \mathrm{m}:
A=\frac{\pi(0,16)^{2}}{4}\approx 0,020106\\ \mathrm{m^{2}}.
  • Velocidade média (porque Q/A): V=\frac{Q}{A}=\frac{0,01}{0,020106}\approx 0,497\\ \mathrm{m/s}.
Breve explicação didática: a vazão volumétrica Q é a quantidade de fluido que passa por uma seção por segundo; dividindo por área da seção obtemos a velocidade média do fluido — isso é o que aparece nas fórmulas de perda por atrito.

Passo 3

Cálculo do número de Reynolds e interpretação do regime de escoamento.
  • Definição e propósito: o número de Reynolds mede a razão entre forças de inércia e forças viscosas e indica se o escoamento é laminar ou turbulento. A fórmula é \mathrm{Re}=\frac{\rho V D}{\mu},
onde \rho é densidade, V velocidade média, D diâmetro e \mu viscosidade dinâmica.
  • Substituindo os valores:
\mathrm{Re}=\frac{890\cdot 0,497\cdot 0,16}{1,64\times10^{-3}}\approx 4,32\times10^{4}.
  • Interpretação: como \mathrm{Re}\gg 2300, o escoamento é turbulento. Isso determina que usaremos uma correlação para fator de atrito válida para escoamento turbulento (ex.: Blasius para tubos relativamente lisos e 10^4\lesssim\mathrm{Re}\lesssim10^5).
Didática extra: para \mathrm{Re}<2300 usa-se f=64/\mathrm{Re} (escoamento laminar). Para \mathrm{Re} grande e tubos lisos, uma correlação prática é a lei de Blasius (abaixo explico o porquê escolhi ela).

Passo 4

Escolha e cálculo do fator de atrito f (Blasius) — explicação e aplicação.
  • Por que Blasius? A equação de Blasius \,f=0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25}\, é uma correlação empírica simples e muito usada para escoamentos turbulentos em tubos lisos entre aproximadamente 4\times10^{3} e 10^{5}. Nosso \mathrm{Re}\approx4{,}32\times10^{4} está dentro dessa faixa, então a escolha é adequada na ausência de rugosidade fornecida.
  • Aplicando Blasius:
f=0{,}3164\;\mathrm{Re}^{-0{,}25}=0{,}3164\;(4{,}32\times10^{4})^{-0{,}25}\approx 0{,}0219.
Didática: o fator de atrito f é adimensional e entra na fórmula de perda de carga; ele engloba efeitos da viscosidade e da turbulência.

Passo 5

Cálculo da perda de carga por atrito h_f pela equação de Darcy–Weisbach e explicação.
  • Equação de Darcy–Weisbach (essa é fundamental):
h_f = f\,\frac{L}{D}\,\frac{V^{2}}{2g},
onde h_f é a perda de carga (m), f fator de atrito (adimensional), L comprimento do tubo (m), D diâmetro (m), V velocidade média (m/s) e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Calculando passo a passo:
    • Razão L/D=\dfrac{20000}{0,16}=125000.
    • Energia de velocidade por unidade de peso \dfrac{V^{2}}{2g}=\dfrac{(0,497)^{2}}{2\cdot9{,}81}\approx 0{,}01261\\ \mathrm{m}.
    • Então
    h_f \approx 0{,}0219\cdot125000\cdot0{,}01261\approx 34{,}5\\ \mathrm{m}.
Interpretação: precisa-se de uma coluna de fluido de aproximadamente 34{,}5\\ \mathrm{m} para vencer as perdas por atrito ao longo dos 20\\ \mathrm{km} de tubo nessa vazão.

Passo 6

Cálculo da potência hidráulica necessária (potência entregue pelo fluido).
  • Fórmula da potência hidráulica (potência útil fornecida pelo(s) bomba(s) ao fluido):
P_{h}=\rho g Q h_f.
Explicação: \rho g transforma a altura em N/m^3; multiplicando por Q e h_f obtemos potência em watts.
  • Substituindo:
P_{h}=890\cdot 9{,}81\cdot 0{,}01\cdot 34{,}5 \approx 3{,}01\times10^{3}\\ \mathrm{W}=3{,}01\\ \mathrm{kW}.
Vou manter algarismos razoáveis: P_{h}\approx 3{,}01\\ \mathrm{kW}.

Passo 7

Cálculo da potência de entrada na(s) bomba(s) considerando o rendimento e interpretação.
  • Se o rendimento da bomba é \eta=0{,}85, a potência de eixo (ou elétrica, dependendo das perdas mecânicas) necessária é
P_{\text{in}}=\frac{P_{h}}{\eta}.
  • Substituindo:
P_{\text{in}}=\frac{3{,}01\\ \mathrm{kW}}{0{,}85}\approx 3{,}54\\ \mathrm{kW}.
Interpretação e dica prática: sempre arredonde para cima ao escolher motor/painel de potência (por segurança e para cobrir perdas adicionais não consideradas, como acessórios, curvas, válvulas, acoplamento, pequenas perdas locais, variações de vazão etc.). Portanto, na prática escolheria um motor de capacidade comercial acima de 3{,}54\\ \mathrm{kW} (por exemplo 4\\ \mathrm{kW} típico) dependendo de detalhes do sistema.

Passo 8

Cálculo da velocidade específica N_s para recomendar o tipo de bomba (conversões de unidades e interpretação da tabela).
  • Observação sobre a fórmula usada: a tabela pediu N_s baseada em n(\mathrm{rpm}), Q(\mathrm{gpm}) e H(\mathrm{ft}). A forma empregada é a usual prática americana:
N_s=\frac{n\sqrt{Q_{\text{gpm}}}}{H_{\text{ft}}^{3/4}},
onde n em rpm, Q_{\text{gpm}} em gpm (gallons per minute), H_{\text{ft}} em pés.
  • Conversões:
    • Q=0{,}01\\ \mathrm{m^3/s}. Como 1\\ \mathrm{m^3}=264{,}172052\\ \mathrm{gal}, Q=0{,}01\cdot 264{,}172052\\ \mathrm{gal/s}\approx 2{,}6417\\ \mathrm{gal/s}.Em gpm: Q_{\text{gpm}}=2{,}6417\cdot 60\approx 158{,}50\\ \mathrm{gpm}.
    • Altura h_f em pés: h_f\approx 34{,}5\\ \mathrm{m}. Como 1\\ \mathrm{m}=3{,}28084\\ \mathrm{ft}, H_{\text{ft}}=34{,}5\cdot 3{,}28084\approx 113{,}2\\ \mathrm{ft}.
  • Cálculo de N_s:
    • \sqrt{Q_{\text{gpm}}}=\sqrt{158{,}50}\approx 12{,}59.
    • H_{\text{ft}}^{3/4}=113{,}2^{0{,}75}\approx 34{,}78.
    • Então
    N_s=\frac{3600\cdot 12{,}59}{34{,}78}\approx 1303.
  • Comparando com a tabela:
    • N_s\approx 1303<2000 → categoria: centrífuga radial.
Explicação didática curta: N_s indica geometricamente que tipo de rotor é mais adequado (rotor com mais curvas para radiais, rotor mais alongado para axiais). Com n=3600\\ \mathrm{rpm} e nossa vazão/altura o resultado aponta para bomba centrífuga radial (a mais comum para aplicações de pressão moderada).

Passo 9

Resumo prático, recomendações e observações úteis.
  • Potência calculada e margem comercial: P_{\text{in}}\approx 3{,}54\\ \mathrm{kW}. É aconselhável especificar um motor padrão comercial ligeiramente maior (por exemplo 4\\ \mathrm{kW}) para cobrir incertezas e perdas adicionais.
  • Tipo de bomba: centrífuga radial (rotor radial), já que N_s\approx 1303 e isso entra na classe N_s<2000.
  • Observações finais: considerei apenas perdas por atrito (Darcy–Weisbach) e usei Blasius para f. Se houver muitas perdas locais (válvulas, curvaturas, bocais) ou tubo muito rugoso, a perda real e, portanto, a potência exigida serão maiores — então essas devem ser incluídas no projeto final.

Resposta

Potência de entrada necessária: 3{,}54\\ \mathrm{kW}.
Tipo de bomba recomendado: centrífuga radial (velocidade específica N_s\approx 1303, ou seja N_s<2000).

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