QUEST. 3) Considere uma distribuição volumétrica de cargas no formato de uma esfera de raio a com densidade \rho_{0} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3} e uma distribuição superficial de cargas com densidade -\mathrm{ap}_{0} / 3 \mathrm{C} / \mathrm{m}^{2} no formato de uma superfície esférica de raio 3 a. Sabendo que as distribuições de cargas são concêntricas, determine a energia armazenada no campo elétrico. ( \mathbf{2 , 0} pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
  • Informação 1: há uma distribuição volumétrica de cargas numa esfera de raio a com densidade volumétrica uniforme \rho_{0} (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{3}).
  • Informação 2: há uma distribuição superficial de cargas numa superfície esférica concêntrica de raio 3a com densidade superficial igual a -\dfrac{a\rho_{0}}{3} (unidade \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}). Observação: eu usei o dado do enunciado e interpretei "-ap_{0}/3" como -\dfrac{a\rho_{0}}{3}, já que multiplicar a por \rho_{0} dá as unidades corretas \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
  • Informação 3: as distribuições são concêntricas (mesmo centro).
O que o problema pede:
  • Determinar a energia armazenada no campo elétrico gerado por essas distribuições de carga (energia total U).

Passo 2

Fórmula que vamos usar (a peça-chave): a energia eletrostática armazenada no campo elétrico em todo o espaço é dada pela integral da densidade de energia
u(\mathbf{r})=\frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}(\mathbf{r}),
portanto
U=\int_{\text{todo espaço}} \frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}(\mathbf{r})\,dV.ç
Aqui \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo (constante), E(\mathbf{r}) é o módulo do campo elétrico no ponto \mathbf{r} e dV é o volume elementar. Como o problema tem simetria esférica, usaremos coordenadas esféricas e dV=4\pi r^{2}dr. Vou explicar cada passo de como obter E(r) e depois integrar.

Passo 3

Para achar E(r) usamos a lei de Gauss (aproveitando a simetria esférica). Para uma superfície gaussiana esférica de raio r,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}}.
Pela simetria \mathbf{E} tem módulo E(r) radial e constante sobre a esfera, e a área da esfera é 4\pi r^{2}. Logo
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}} \quad\Rightarrow\quad E(r)=\frac{Q_{\text{int}}(r)}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}.
Aqui Q_{\text{int}}(r) é a carga total contida em r'<r. Vou calcular Q_{\text{int}}(r) em cada região e obter E(r).

Passo 4

Região 1: 0\le r\le a (dentro da esfera volumétrica).
A carga contida até raio r vem apenas da densidade volumétrica uniforme \rho_{0}. O volume de uma esfera de raio r é \dfrac{4}{3}\pi r^{3}. Assim
Q_{\text{int}}(r)=\rho_{0}\cdot \frac{4}{3}\pi r^{3}.
Substituindo em Gauss:
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\rho_{0}\, \frac{4}{3}\pi r^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}\, r}{3\varepsilon_{0}}.
Então, para 0\le r\le a,
E(r)=\frac{\rho_{0}\, r}{3\varepsilon_{0}}.
Observação didática: esse comportamento E\propto r é típico de uma distribuição volumétrica uniforme no interior: o campo cresce linearmente a partir do centro.

Passo 5

Região 2: a< r < 3a (entre a esfera carregada volumetricamente e a superfície de raio 3a).
Aqui toda a carga volumétrica já está dentro da esfera de raio a. A carga total da esfera volumétrica é
Q_{\text{vol}}=\rho_{0}\cdot\frac{4}{3}\pi a^{3}.
Não há carga superficial para r<3a, então
Q_{\text{int}}(r)=Q_{\text{vol}}=\rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi a^{3}.
Logo, para a<r<3a,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{\rho_{0}\,\frac{4}{3}\pi a^{3}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}\, a^{3}}{3\varepsilon_{0}\, r^{2}}.

Passo 6

Região 3: r>3a (fora de todas as cargas).
Primeiro calculamos a carga total da superfície esférica em r=3a. A densidade superficial dada é
\sigma = -\frac{a\rho_{0}}{3}.
A área da esfera de raio 3a é 4\pi(3a)^{2}=36\pi a^{2}. Assim a carga superficial total é
Q_{\text{surf}}=\sigma\cdot 4\pi(3a)^{2} =-\frac{a\rho_{0}}{3}\cdot 36\pi a^{2}=-12\pi a^{3}\rho_{0}.
A carga total contida em r>3a é Q_{\text{tot}}=Q_{\text{vol}}+Q_{\text{surf}}, ou seja
Q_{\text{tot}}=\rho_{0}\frac{4}{3}\pi a^{3}-12\pi a^{3}\rho_{0} =\pi a^{3}\rho_{0}\left(\frac{4}{3}-12\right) =\pi a^{3}\rho_{0}\left(-\frac{32}{3}\right).
Então, para r>3a,
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{Q_{\text{tot}}}{r^{2}} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{-\frac{32}{3}\pi a^{3}\rho_{0}}{r^{2}} =-\frac{8}{3}\cdot\frac{\rho_{0} a^{3}}{\varepsilon_{0}\, r^{2}}.
( O sinal negativo indica direção radial para dentro; para a energia usamos E^{2} então o sinal não importa.)
Resumo dos campos:
\text{(i) }0\le r\le a:\quad E(r)=\frac{\rho_{0} r}{3\varepsilon_{0}}.
\text{(ii) }a<r<3a:\quad E(r)=\frac{\rho_{0} a^{3}}{3\varepsilon_{0}\, r^{2}}.
\text{(iii) }r>3a:\quad E(r)=\frac{8}{3}\frac{\rho_{0} a^{3}}{\varepsilon_{0}\, r^{2}}\quad\text{(módulo)}.ó

Passo 7

Agora montamos a integral da energia. Usando dV=4\pi r^{2}dr,
U=\int_{0}^{\infty}\frac{\varepsilon_{0}}{2}E^{2}(r)\,4\pi r^{2}dr =2\pi\varepsilon_{0}\int_{0}^{\infty} E^{2}(r)\, r^{2}dr.
Vamos dividir a integral em três partes correspondentes às três regiões:
U=2\pi\varepsilon_{0}\left(\int_{0}^{a} E^{2}r^{2}dr+\int_{a}^{3a} E^{2}r^{2}dr+\int_{3a}^{\infty} E^{2}r^{2}dr\right).
Em cada integral substituímos a expressão de E(r) apropriada.

Passo 8

Calcule cada integral separadamente.
Região 1 ( 0 a a):
E(r)=\frac{\rho_{0} r}{3\varepsilon_{0}}\quad\Rightarrow\quad E^{2}r^{2}=\frac{\rho_{0}^{2} r^{4}}{9\varepsilon_{0}^{2}}.
Então
I_{1}=\int_{0}^{a} E^{2}r^{2}dr=\frac{\rho_{0}^{2}}{9\varepsilon_{0}^{2}}\int_{0}^{a} r^{4}dr =\frac{\rho_{0}^{2}}{9\varepsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{a^{5}}{5} =\frac{\rho_{0}^{2} a^{5}}{45\varepsilon_{0}^{2}}.
Região 2 ( a a 3a):
E(r)=\frac{\rho_{0} a^{3}}{3\varepsilon_{0} r^{2}}\quad\Rightarrow\quad E^{2}r^{2}=\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{9\varepsilon_{0}^{2} r^{2}}.
Então
I_{2}=\int_{a}^{3a} E^{2}r^{2}dr=\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{9\varepsilon_{0}^{2}}\int_{a}^{3a}\frac{dr}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{9\varepsilon_{0}^{2}}\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{3a}.
Calcule o colchete:
\left[-\frac{1}{r}\right]_{a}^{3a}=-\frac{1}{3a}+\frac{1}{a}=\frac{2}{3a}.
Logo
I_{2}=\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{9\varepsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{2}{3a} =\frac{2\rho_{0}^{2} a^{5}}{27\varepsilon_{0}^{2}}.
Região 3 ( 3a a \infty):
E(r)=\frac{8}{3}\frac{\rho_{0} a^{3}}{\varepsilon_{0} r^{2}}\quad\Rightarrow\quad E^{2}r^{2}=\left(\frac{8}{3}\right)^{2}\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{\varepsilon_{0}^{2} r^{2}} =\frac{64}{9}\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{\varepsilon_{0}^{2} r^{2}}.
Então
I_{3}=\int_{3a}^{\infty} E^{2}r^{2}dr=\frac{64}{9}\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{\varepsilon_{0}^{2}}\int_{3a}^{\infty}\frac{dr}{r^{2}} =\frac{64}{9}\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{\varepsilon_{0}^{2}}\left[\frac{1}{3a}\right]
porque \int_{R}^{\infty} r^{-2}dr = 1/R. Assim
I_{3}=\frac{64}{9}\frac{\rho_{0}^{2} a^{6}}{\varepsilon_{0}^{2}}\cdot\frac{1}{3a} =\frac{64\rho_{0}^{2} a^{5}}{27\varepsilon_{0}^{2}}.

Passo 9

Some as três parcelas I_{1}+I_{2}+I_{3}:
I_{1}+I_{2}+I_{3} =\frac{\rho_{0}^{2} a^{5}}{\varepsilon_{0}^{2}}\left(\frac{1}{45}+\frac{2}{27}+\frac{64}{27}\right).
Calcule a soma dos coeficientes:
\frac{1}{45}+\frac{2}{27}+\frac{64}{27}=\frac{1}{45}+\frac{66}{27} =\frac{1}{45}+\frac{220}{90}=\frac{2}{90}+\frac{220}{90}=\frac{222}{90}=\frac{37}{15}.
Portanto
I_{1}+I_{2}+I_{3}=\frac{37}{15}\cdot\frac{\rho_{0}^{2} a^{5}}{\varepsilon_{0}^{2}}.

Passo 10

Finalmente multiplicamos pelo prefator 2\pi\varepsilon_{0} para obter U:
U=2\pi\varepsilon_{0}\left(I_{1}+I_{2}+I_{3}\right) =2\pi\varepsilon_{0}\cdot\frac{37}{15}\cdot\frac{\rho_{0}^{2} a^{5}}{\varepsilon_{0}^{2}}.
Simplificando um fator \varepsilon_{0},
U=\frac{74\pi}{15}\cdot\frac{\rho_{0}^{2} a^{5}}{\varepsilon_{0}}.
Comentário: a energia é positiva, como deve ser, e a expressão tem unidades corretas de energia.

Resposta

U=\frac{74\pi}{15}\,\frac{\rho_{0}^{2} a^{5}}{\varepsilon_{0}}.

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