QUEST. 3) Considere uma distribuição volumétrica de cargas no formato de uma esfera de raio a com densidade
e uma distribuição superficial de cargas com densidade
no formato de uma superfície esférica de raio 3 a. Sabendo que as distribuições de cargas são concêntricas, determine a energia armazenada no campo elétrico. (
pontos)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa concreta.
- Informação 1: há uma distribuição volumétrica de cargas numa esfera de raio
com densidade volumétrica uniforme (unidade ). - Informação 2: há uma distribuição superficial de cargas numa superfície esférica concêntrica de raio
com densidade superficial igual a (unidade ). Observação: eu usei o dado do enunciado e interpretei como , já que multiplicar por dá as unidades corretas . - Informação 3: as distribuições são concêntricas (mesmo centro).
O que o problema pede:
- Determinar a energia armazenada no campo elétrico gerado por essas distribuições de carga (energia total
).
Passo 2
Fórmula que vamos usar (a peça-chave): a energia eletrostática armazenada no campo elétrico em todo o espaço é dada pela integral da densidade de energia
portanto
Aqui
é a permissividade do vácuo (constante),
é o módulo do campo elétrico no ponto
e
é o volume elementar. Como o problema tem simetria esférica, usaremos coordenadas esféricas e
. Vou explicar cada passo de como obter
e depois integrar.
Passo 3
Para achar
usamos a lei de Gauss (aproveitando a simetria esférica). Para uma superfície gaussiana esférica de raio
,
Pela simetria
tem módulo
radial e constante sobre a esfera, e a área da esfera é
. Logo
Aqui
é a carga total contida em
. Vou calcular
em cada região e obter
.
Passo 4
Região 1:
(dentro da esfera volumétrica).
A carga contida até raio
vem apenas da densidade volumétrica uniforme
. O volume de uma esfera de raio
é
. Assim
Substituindo em Gauss:
Então, para
,
Observação didática: esse comportamento
é típico de uma distribuição volumétrica uniforme no interior: o campo cresce linearmente a partir do centro.
Passo 5
Região 2:
(entre a esfera carregada volumetricamente e a superfície de raio
).
Aqui toda a carga volumétrica já está dentro da esfera de raio
. A carga total da esfera volumétrica é
Não há carga superficial para
, então
Logo, para
,
Passo 6
Região 3:
(fora de todas as cargas).
Primeiro calculamos a carga total da superfície esférica em
. A densidade superficial dada é
A área da esfera de raio
é
. Assim a carga superficial total é
A carga total contida em
é
, ou seja
Então, para
,
( O sinal negativo indica direção radial para dentro; para a energia usamos
então o sinal não importa.)
Resumo dos campos:
Passo 7
Agora montamos a integral da energia. Usando
,
Vamos dividir a integral em três partes correspondentes às três regiões:
Em cada integral substituímos a expressão de
apropriada.
Passo 8
Calcule cada integral separadamente.
Região 1 (
a
):
Então
Região 2 (
a
):
Então
Calcule o colchete:
Logo
Região 3 (
a
):
Então
porque
. Assim
Passo 9
Some as três parcelas
:
Calcule a soma dos coeficientes:
Portanto
Passo 10
Finalmente multiplicamos pelo prefator
para obter
:
Simplificando um fator
,
Comentário: a energia é positiva, como deve ser, e a expressão tem unidades corretas de energia.