Questão 1) Quatro cargas pontuais de Qe C estão localizadas nos vértices de um quadrado cujo lado tem comprimento d , situado no vácuo. Determine a energia armazenada no campo elétrico desta distribuição de cargas. (2,5)

Passo 1

O enunciado diz que há quatro cargas puntiformes iguais, cada uma com carga Q, localizadas nos vértices de um quadrado de lado d no vácuo. A pergunta é: qual é a energia armazenada no campo elétrico dessa distribuição de cargas?
Informações dadas:
\text{Quatro cargas } Q \text{ nos vértices de um quadrado de lado } d,\quad \text{meio: vácuo}.éá
O que se pede:
\text{Energia total armazenada no campo elétrico (energia eletrostática) do sistema.}éá

Passo 2

Conceito e fórmula fundamental (aula rápida): a energia potencial eletrostática entre duas cargas puntuais q_i e q_j separadas por uma distância r_{ij} é dada por
U_{ij}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
Explicação das variáveis: \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo, q_i e q_j são as cargas, r_{ij} é a distância entre elas. Essa fórmula vem do trabalho necessário para trazer uma carga de infinito até a posição considerada contra a força elétrica.
Para um sistema de várias cargas puntuais, a energia total é a soma das energias de todas as pares distintas (cada par contado uma vez):
U=\sum_{i<j} U_{ij}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum_{i<j}\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.
Observação pedagógica: outra forma equivalente é usar U=\tfrac{1}{2}\sum_i q_i V(\mathbf r_i), onde V(\mathbf r_i) é o potencial total produzido pelos demais na posição de q_i; ambas as expressões dão o mesmo resultado porque evitam contar pares duas vezes.

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: todas as cargas têm o mesmo valor Q. Então cada termo de par tem q_i q_j = Q^2. Precisamos identificar as distâncias entre pares de vértices do quadrado. Num quadrado de lado d temos:
  • pares adjacentes (arestas): distância d. Quantidade desses pares: 4 (AB, BC, CD, DA).
  • pares opostos (diagonais): distância d\sqrt{2}. Quantidade desses pares: 2 (AC, BD).
    Confirmação combinatória: o número total de pares é \binom{4}{2}=6, que é 4+2 como enumerado acima.

Passo 4

Agora somamos os termos usando a fórmula de pares:
U=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\sum_{\text{4 pares adjacentes}}\frac{Q^2}{d}+\sum_{\text{2 diagonais}}\frac{Q^2}{d\sqrt{2}}\right).
Fatorando Q^2 e simplificando:
U=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{4}{d}+\frac{2}{d\sqrt{2}}\right).
Colocando 1/d em evidência:
U=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}\left(4+\frac{2}{\sqrt{2}}\right).
Simplificando \dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}:
U=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}\bigl(4+\sqrt{2}\bigr).

Passo 5

Interpretação final rápida: o resultado é positivo quando as quatro cargas têm o mesmo sinal (energia armazenada por repulsão). A expressão está em termos de Q, d e \varepsilon_0, valores típicos em problemas de eletrostática sem necessidade de avaliação numérica.

Resposta

U=\frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}\bigl(4+\sqrt{2}\bigr)

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