( 2.5 pt ) Seja um cilindro longo condutor oco de raio interno b e raio externo a. O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel, e o módulo da densidade de corrente na seçāo reta é dado por J=C / r^{2}, sendo C uma constante arbitrária dada em A e r em metros. Qual é o módulo do campo magnético (B) em um ponto situado a uma distância radial r do eixo central do cilindro, sendo r>a ?

Passo 1

O enunciado dá um cilindro longo, condutor oco, com raio interno b e raio externo a. A corrente elétrica sai para fora do plano (isto é, tem direção axial) e a densidade de corrente na seção reta depende do raio como \displaystyle J=\frac{C}{r^{2}}, onde C é uma constante (em ampères) e r está em metros. Pergunta-se o módulo do campo magnético em um ponto situado a uma distância radial \,r\,$ do eixo do cilindro, no caso em que \(\,r>a (ou seja, ponto fora do cilindro).
Informações relevantes extraídas do enunciado: \,b e \,a (raios interno e externo), \,J(r)=C/r^{2}, corrente axial para fora do plano, queremos B(r) para \,r>a.)

Passo 2

Escolhemos usar a Lei de Ampère porque o problema tem simetria cilíndrica (campo só depende da distância radial ao eixo e é tangencial). A Lei de Ampère em forma integral é
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=\mu_{0} I_{\text{enc}},
onde:
  • \mathbf{B} é o campo magnético,
  • d\boldsymbol{\ell} é o elemento infinitesimal de comprimento ao longo do caminho fechado,
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo (constante física),
  • I_{\text{enc}} é a corrente total atravessando a área limitada pelo caminho.
    Explicação intuitiva: com simetria cilíndrica, \mathbf{B} tem a direção azimutal (circunferência ao redor do eixo) e o mesmo módulo em qualquer ponto de uma circunferência centrada no eixo; por isso podemos aplicar Ampère de forma simples.

Passo 3

Tomamos como caminho amperiano a circunferência de raio \,r (com \,r>a), centrada no eixo. Ao percorrer essa circunferência \mathbf{B} é tangente e tem módulo constante B(r), então o lado esquerdo da Lei de Ampère fica
\oint \mathbf{B}\cdot d\boldsymbol{\ell}=B(r)\,(2\pi r),
porque o comprimento da circunferência é 2\pi r. Assim
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0} I_{\text{enc}}.
Para achar B(r) precisamos calcular I_{\text{enc}}, que é a corrente total que passa pela seção do condutor (entre b e a).

Passo 4

Calculamos I_{\text{enc}} integrando a densidade de corrente na seção transversal do condutor (anel entre r'=b e r'=a). Usamos coordenadas polares na seção: o elemento de área é dA=r'\,dr'\,d\varphi. Para não confundir com a posição onde queremos o campo ( r), chamei a variável de integração de r'. Assim
I_{\text{enc}}=\int_{0}^{2\pi}\int_{b}^{a} J(r')\,r'\,dr'\,d\varphi =\int_{0}^{2\pi}\int_{b}^{a}\frac{C}{r'^{2}}\,r'\,dr'\,d\varphi.
Simplificando o integrando obtemos \displaystyle \frac{C}{r'}. Integramos em r' e depois em \varphi:
I_{\text{enc}}=\int_{0}^{2\pi} \left(\int_{b}^{a}\frac{C}{r'}\,dr'\right) d\varphi = \int_{0}^{2\pi} \bigl[ C\ln(r') \bigr]_{r'=b}^{r'=a}\, d\varphi.
A integral em \varphi simplesmente multiplica por 2\pi, então
I_{\text{enc}}=2\pi C \ln\!\left(\frac{a}{b}\right).
Observação didática: a razão \dfrac{a}{b} é adimensional, então o logaritmo é bem definido; se b for muito pequeno essa corrente cresce, o que faz sentido pois J\propto 1/r'^2 é singular próximo do eixo.

Passo 5

Voltando à Lei de Ampère, substituímos I_{\text{enc}}:
B(r)\,(2\pi r)=\mu_{0}\,\biggl(2\pi C \ln\!\left(\frac{a}{b}\right)\biggr).
Cancelando 2\pi dos dois lados e isolando B(r) obtemos
B(r)=\frac{\mu_{0} C \ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)}{r},\qquad\text{para }r>a.
Este é o módulo do campo magnético; a direção é azimutal (tangente à circunferência) seguindo a regra da mão direita em relação à direção da corrente.

Passo 6

Verificação rápida de unidades e comportamento: \mu_{0} tem unidades \mathrm{T\cdot m/A}, C tem unidades de ampère (A), \ln(a/b) é adimensional, e dividir por r (m) dá tesla (T) como esperado. Limites: se a\to b (anel muito fino) então \ln(a/b)\to 0 e B\to 0 como esperado para corrente total pequena; se b\to 0 e J singular, a corrente e B podem divergir — isso reflete a singularidade de J.

Resposta

B(r)=\frac{\mu_{0}\,C\,\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)}{r}\quad\text{para }r>a.

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