( 2.5 pt ) Seja um cilindro longo condutor oco de raio interno b e raio externo
. O cilindro conduz uma corrente para fora do plano do papel, e o módulo da densidade de corrente na seçāo reta é dado por
, sendo C uma constante arbitrária dada em A e r em metros. Qual é o módulo do campo magnético (B) em um ponto situado a uma distância radial
do eixo central do cilindro, sendo
?
Passo 1
O enunciado dá um cilindro longo, condutor oco, com raio interno
e raio externo
. A corrente elétrica sai para fora do plano (isto é, tem direção axial) e a densidade de corrente na seção reta depende do raio como
, onde
é uma constante (em ampères) e
está em metros. Pergunta-se o módulo do campo magnético em um ponto situado a uma distância radial
(ou seja, ponto fora do cilindro).
Informações relevantes extraídas do enunciado: e
(raios interno e externo),
, corrente axial para fora do plano, queremos
para
.)
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Escolhemos usar a Lei de Ampère porque o problema tem simetria cilíndrica (campo só depende da distância radial ao eixo e é tangencial). A Lei de Ampère em forma integral é
onde:
-
é o campo magnético, -
é o elemento infinitesimal de comprimento ao longo do caminho fechado, -
é a permeabilidade do vácuo (constante física), -
é a corrente total atravessando a área limitada pelo caminho.
Explicação intuitiva: com simetria cilíndrica,tem a direção azimutal (circunferência ao redor do eixo) e o mesmo módulo em qualquer ponto de uma circunferência centrada no eixo; por isso podemos aplicar Ampère de forma simples.
Passo 3
Tomamos como caminho amperiano a circunferência de raio
(com
), centrada no eixo. Ao percorrer essa circunferência
é tangente e tem módulo constante
, então o lado esquerdo da Lei de Ampère fica
porque o comprimento da circunferência é
. Assim
Para achar
precisamos calcular
, que é a corrente total que passa pela seção do condutor (entre
e
).
Passo 4
Calculamos
integrando a densidade de corrente na seção transversal do condutor (anel entre
e
). Usamos coordenadas polares na seção: o elemento de área é
. Para não confundir com a posição onde queremos o campo (
), chamei a variável de integração de
. Assim
Simplificando o integrando obtemos
. Integramos em
e depois em
:
A integral em
simplesmente multiplica por
, então
Observação didática: a razão
é adimensional, então o logaritmo é bem definido; se
for muito pequeno essa corrente cresce, o que faz sentido pois
é singular próximo do eixo.
Passo 5
Voltando à Lei de Ampère, substituímos
:
Cancelando
dos dois lados e isolando
obtemos
Este é o módulo do campo magnético; a direção é azimutal (tangente à circunferência) seguindo a regra da mão direita em relação à direção da corrente.
Passo 6
Verificação rápida de unidades e comportamento:
tem unidades
,
tem unidades de ampère (A),
é adimensional, e dividir por
(m) dá tesla (T) como esperado. Limites: se
(anel muito fino) então
e
como esperado para corrente total pequena; se
e
singular, a corrente e
podem divergir — isso reflete a singularidade de
.