Quest ^ ao 2: Considere um escalar gamma=5,0 m e dois vetores:
& a=(2,0 m) i+(3,0 m) j+(1,0 m) k & b=(-4,0 m) i+(2,0 m) j-(1,0 m) k
Determine:
(a) Y(a+b)
(b) |a-b|
(c) a cdot b
(d) a times b
(e) |a times b|
(f) (a+b) cdot(a-b)
(g) O ^angulo entre a e^b.
(h) O ^angulo entre a e o eixo y.

Passo 1

O enunciado dá dois vetores em R^3 e um escalar gamma=5,0 m. Precisamos usar as operações básicas de álgebra vetorial: soma e diferença de vetores, produto por escalar, norma, produto escalar, produto vetorial e a relação entre produto escalar e cosseno de ângulo para encontrar os ângulos pedidos.

Passo 2

Para o item (a) primeiro calculamos
a + b = (2,0 m,-4,0 m)+(3,0 m,2,0 m)+(1,0 m,-1,0 m)
componentwise:
a + b = (-2,0 m,;5,0 m,;0,0 m)
Agora multiplicamos pelo escalar gamma=5,0 m:
gamma(a + b) = 5,0,( -2,0,;5,0,;0,0 ) = (-10,0,;25,0,;0,0) m^2

Passo 3

Para (b) calculamos
a - b = (2,0,;3,0,;1,0) - (-4,0,;2,0,;-1,0) = (6,0,;1,0,;2,0)
A norma é
|a - b| = raiz6^2+1^2+2^2 = raiz36+1+4 = raiz41 approx 6,403 m

Passo 4

Para (c) o produto escalar
acdotb =2cdot(-4)+3cdot2+1cdot(-1) =-8+6-1 =-3 m^2

Passo 5

Para (d) o produto vetorial usamos
atimesb =l(a2b3-a3b2,;a3b1-a1b3,;a1b2-a2b1r)
Substituindo:
atimesb =(-5,;-2,;16) m^2

Passo 6

Para (e) a norma de atimesb é
|atimesb| =raiz(-5)^2+(-2)^2+16^2 =raiz25+4+256 =raiz285 approx16,882 m^2

Passo 7

Para (f) calculamos (a+b)cdot(a-b). Já temos a+b=(-2,5,0) e a-b=(6,1,2), então
(a+b)cdot(a-b) =-2cdot6+5cdot1+0cdot2 =-12+5+0 =-7

Passo 8

Para (g) o ângulo theta entre a e b vem de
costheta =acdotb|a|;|b| =-3raiz14,raiz21 =-3raiz294 approx -0,175
Logo
theta = arccos(-0,175)approx100,1^circ

Passo 9

Para (h) o eixo y é o vetor unitário jmath=(0,1,0). Então
cosphi =acdothatjmath|a|;|hatjmath| =3raiz14cdot1 approx0,802,
logo
phi = arccos(0,802)approx36,9^circ

Resposta

(a) gamma(a+b) =(-10,0,;25,0,;0,0) m^2.
(b) |a-b|=raiz41approx6,403 m.
(c) acdotb=-3 m^2.
(d) atimesb=(-5,;-2,;16) m^2.
(e) |atimesb|=raiz285approx16,882 m^2.
(f) (a+b)cdot(a-b)=-7.
(g) theta=arccosl(tfrac-3raiz294r)approx100,1^circ.
(h) phi=arccosl(tfrac3raiz14r)approx36,9^circ.

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