2-) Uma molécula diatômica consiste de dois átomos de massa m separados por uma distância fixa d girando em torno de um eixo ortogonal a reta que une as massas passando pelo ponto intermediário entre os dois átomos. Assumindo que o momentum angular é quantizado segundo a Lei de Bohr determine: a-) As velocidades angulares possíveis.
b-) As possíveis energias de rotação para o sistema. c-) A energia do estado fundamental (estado de mais baixa energia) em eV para a molécula de O2 para a qual d=121 pm e m=16 uma.

Passo 1

O enunciado pede as rotações quantizadas de uma molécula diatômica (dois átomos de massa m separados por distância d) cuja quantização do momento angular obedece à regra de Bohr L=nhbar. Vamos precisar do momento de inércia do sistema, da relação L=Iomega para achar as velocidades angulares e da energia rotacional clássica E=L^2/(2I) para achar as energias quantizadas. Por fim, aplicamos isso para O2 com m=16 u e d=121 pm.

Passo 2

Como são duas massas iguais girando em torno de um eixo no ponto médio, o momento de inércia total é
I ;=; ml(tfracd2r)^2 ;+; ml(tfracd2r)^2 ;=;2,md^24 ;=;m,d^22

Passo 3

A quantização de Bohr diz
L ;=; I,omega ;=; n,hbar,
logo as velocidades angulares possíveis são
omegan ;=;n,hbarI ;=;n,hbarm,d^2/2 ;=;2,n,hbarm,d^2,
com n=1,2,3,dots.

Passo 4

A energia rotacional clássica é
E ;=;L^22I ;=;(nhbar)^22I ;=;n^2,hbar^22,(m,d^2/2) ;=;n^2,hbar^2m,d^2

Passo 5

No estado fundamental de Bohr tomamos n=1. Para O2:
m = 16;u = 16times1,6605times10^-27,kg approx2,657times10^-26,kg, d = 121times10^-12,m,
então
E1 = hbar^2m,d^2 approx(1,0546times10^-34)^2(2,657times10^-26)(1,4641times10^-20) approx2,86times10^-23,J
Convertendo para elétron-volts ( 1,eV=1,602times10^-19,J):
E1 approx2,86times10^-231,602times10^-19 approx1,78times10^-4,eV

Resposta

a-) omegan = 2,n,hbarm,d^2, n=1,2,3,dots.
b-) En = n^2,hbar^2m,d^2, n=1,2,3,dots.
c-) E1approx1,78times10^-4,eV

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