QUEST. 3) Sabe-se que a densidade de fluxo elétrico, em coordenadas cilíndricas, é
para
a) Determine o fluxo que atravessa cada uma das três superficies que constituem a superficie cilíndrica definida por
.
b) Determine a carga contida na regiăo definida por
.
a) Determine o fluxo que atravessa cada uma das três superficies que constituem a superficie cilíndrica definida por
b) Determine a carga contida na regiăo definida por
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Dado: a densidade de fluxo elétrico, em coordenadas cilíndricas, é
Aqui
é a coordenada radial,
é o ângulo e
a coordenada axial.
e
são constantes fornecidas.
-
Região/ superfícies consideradas: o cilindro com
, e . Essa superfície fechada é formada por três partes: - Superfície lateral:
com , , . O versor normal apontando para fora é . - Tampa superior:
com , , . O versor normal para fora (do volume) é . - Tampa inferior:
com , , . O versor normal para fora é .
- Superfície lateral:
-
O enunciado pede:
(a) Determinar o fluxo que atravessa cada uma das três superfícies acima (fluxo deatravés de cada superfície).
(b) Determinar a carga contida no volume definido por.
Passo 2
Relembrando a definição de fluxo e aplicando na superfície lateral (a parte que realmente recebe fluxo não nulo):
- Fórmula do fluxo através de uma superfície
:
onde
é o versor normal à superfície (orientado conforme pedido — aqui vamos tomar o normal exterior ao volume).
- Para a superfície lateral
com a parametrização natural usa e . O elemento de área em coordenadas cilíndricas, quando é constante, vale
Como estamos em
, temos
e o versor normal exterior é
.
- O produto escalar que entra no fluxo é
. Aqui
logo no contorno
Passo 3
Calcular explicitamente o fluxo através da superfície lateral
:
- Aplicando a integral de superfície:
- Substituindo
e executando as integrais (note que não dependem de nem de ):
- Portanto,
Passo 4
Fluxo através das tampas (superfícies planas em
constante):
- Para a tampa superior
em o versor normal exterior é . O produto escalar
já que
tem apenas componente radial
. Logo o integrando é zero em toda a tampa. Portanto
- Para a tampa inferior
em o versor normal exterior é . Novamente
pois
não tem componente em
. Logo
Passo 5
Agora vamos determinar a carga contida no volume. Aqui uma explicação passo-a-passo do conceito usado:
- Relação fundamental (equação de Maxwell-Gauss, em forma diferencial): a densidade volumétrica de carga livre
está relacionada ao campo por
Isto significa que para encontrar a carga volumétrica local basta calcular a divergência de
.
- Em coordenadas cilíndricas a divergência de um vetor
é
No nosso caso
e
, e
.
- Calcule a divergência:
Derivando:
Dividindo por
obtemos
Portanto a densidade volumétrica de carga é
Passo 6
Integrar a densidade volumétrica para obter a carga total contida no volume:
- Elemento de volume em coordenadas cilíndricas:
- A carga total
é
- Simplificando o integrando:
. Agora integramos passo a passo.
Integral em
:
Integral em
:
multiplicando obtemos
.
Integral em
de
a
apenas multiplica por
. Portanto a carga total é
- Observação útil e reconfortante: esse resultado é igual ao fluxo total através da superfície fechada (fluxo lateral + fluxos das tampas =
), o que é coerente com o teorema de Gauss (fluxo do fluxo elétrico através da superfície fechada = carga contida).
Resposta
(a)
(a)
(a)
(a)
(a)
(b)