QUEST. 3) Sabe-se que a densidade de fluxo elétrico, em coordenadas cilíndricas, é \mathbf{D}= \frac{\rho_{0}}{3 R_{0}} \rho^{2} \hat{a}_{\rho} para 0 \leq \rho \leq R_{0} .(2,5)
a) Determine o fluxo que atravessa cada uma das três superficies que constituem a superficie cilíndrica definida por \rho=\mathrm{R}_{0}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi \mathrm{e} 0 \leq \mathrm{z} \leq 1. (1,5)
b) Determine a carga contida na regiăo definida por 0 \leq \rho \leq R_{0}, 0 \leq \varphi \leq 2 \pi e 0 \leq z \leq 1. (1,0)

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Dado: a densidade de fluxo elétrico, em coordenadas cilíndricas, é
\mathbf{D}=\frac{\rho_{0}}{3R_{0}}\rho^{2}\,\hat{a}_{\rho}, \qquad 0\le \rho \le R_{0}.
Aqui \rho é a coordenada radial, \varphi é o ângulo e z a coordenada axial. \rho_{0} e R_{0} são constantes fornecidas.
  • Região/ superfícies consideradas: o cilindro com \rho=R_{0}, 0\le\varphi\le2\pi e 0\le z\le1. Essa superfície fechada é formada por três partes:
    1. Superfície lateral: S_{\text{lat}} com \rho=R_{0}, 0\le\varphi\le2\pi, 0\le z\le1. O versor normal apontando para fora é \hat{a}_{\rho}.
    2. Tampa superior: S_{\text{sup}} com z=1, 0\le\rho\le R_{0}, 0\le\varphi\le2\pi. O versor normal para fora (do volume) é +\hat{a}_{z}.
    3. Tampa inferior: S_{\text{inf}} com z=0, 0\le\rho\le R_{0}, 0\le\varphi\le2\pi. O versor normal para fora é -\hat{a}_{z}.
  • O enunciado pede:
    (a) Determinar o fluxo que atravessa cada uma das três superfícies acima (fluxo de \mathbf{D} através de cada superfície).
    (b) Determinar a carga contida no volume definido por 0\le\rho\le R_{0},\;0\le\varphi\le2\pi,\;0\le z\le1.

Passo 2

Relembrando a definição de fluxo e aplicando na superfície lateral (a parte que realmente recebe fluxo não nulo):
  • Fórmula do fluxo através de uma superfície S:
\Phi_S=\iint_{S}\mathbf{D}\cdot\hat{n}\,dS,
onde \hat{n} é o versor normal à superfície (orientado conforme pedido — aqui vamos tomar o normal exterior ao volume).
  • Para a superfície lateral S_{\text{lat}} com \rho=R_{0} a parametrização natural usa \varphi e z. O elemento de área em coordenadas cilíndricas, quando \rho é constante, vale
dS = \rho\,d\varphi\,dz.
Como estamos em \rho=R_{0}, temos dS = R_{0}\,d\varphi\,dz e o versor normal exterior é \hat{a}_{\rho}.
  • O produto escalar que entra no fluxo é \mathbf{D}\cdot\hat{a}_{\rho}=D_{\rho}. Aqui
D_{\rho}(\rho)=\frac{\rho_{0}}{3R_{0}}\rho^{2},
logo no contorno \rho=R_{0}
D_{\rho}(R_{0})=\frac{\rho_{0}}{3R_{0}}R_{0}^{2}=\frac{\rho_{0}R_{0}}{3}.

Passo 3

Calcular explicitamente o fluxo através da superfície lateral S_{\text{lat}}:
  • Aplicando a integral de superfície:
\Phi_{\text{lat}} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} D_{\rho}(R_{0})\;R_{0}\;dz\,d\varphi.
  • Substituindo D_{\rho}(R_{0})=\dfrac{\rho_{0}R_{0}}{3} e executando as integrais (note que não dependem de \varphi nem de z):
\Phi_{\text{lat}} =\frac{\rho_{0}R_{0}}{3}\,R_{0}\int_{0}^{2\pi}d\varphi\int_{0}^{1}dz =\frac{\rho_{0}R_{0}^{2}}{3}\cdot(2\pi)\cdot(1).
  • Portanto,
\Phi_{\text{lat}}=\frac{2\pi\,\rho_{0}\,R_{0}^{2}}{3}.

Passo 4

Fluxo através das tampas (superfícies planas em z= constante):
  • Para a tampa superior S_{\text{sup}} em z=1 o versor normal exterior é +\hat{a}_{z}. O produto escalar
\mathbf{D}\cdot\hat{a}_{z}=0
já que \mathbf{D} tem apenas componente radial \hat{a}_{\rho}. Logo o integrando é zero em toda a tampa. Portanto
\Phi_{\text{sup}}=0.
  • Para a tampa inferior S_{\text{inf}} em z=0 o versor normal exterior é -\hat{a}_{z}. Novamente
\mathbf{D}\cdot(-\hat{a}_{z})=0,
pois \mathbf{D} não tem componente em z. Logo
\Phi_{\text{inf}}=0.

Passo 5

Agora vamos determinar a carga contida no volume. Aqui uma explicação passo-a-passo do conceito usado:
  • Relação fundamental (equação de Maxwell-Gauss, em forma diferencial): a densidade volumétrica de carga livre \rho_{v} está relacionada ao campo \mathbf{D} por
\nabla\cdot\mathbf{D}=\rho_{v}.
Isto significa que para encontrar a carga volumétrica local basta calcular a divergência de \mathbf{D}.
  • Em coordenadas cilíndricas a divergência de um vetor \mathbf{A}=A_{\rho}\hat{a}_{\rho}+A_{\varphi}\hat{a}_{\varphi}+A_{z}\hat{a}_{z} é
\nabla\cdot\mathbf{A}=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\big(\rho A_{\rho}\big) +\frac{1}{\rho}\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} +\frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
No nosso caso A_{\varphi}=0 e A_{z}=0, e A_{\rho}=D_{\rho}(\rho)=\dfrac{\rho_{0}}{3R_{0}}\rho^{2}.
  • Calcule a divergência:
\nabla\cdot\mathbf{D} =\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\left(\rho\cdot\frac{\rho_{0}}{3R_{0}}\rho^{2}\right) =\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\left(\frac{\rho_{0}}{3R_{0}}\rho^{3}\right).
Derivando:
\frac{d}{d\rho}\!\left(\frac{\rho_{0}}{3R_{0}}\rho^{3}\right) =\frac{\rho_{0}}{3R_{0}}\cdot 3\rho^{2}=\frac{\rho_{0}}{R_{0}}\rho^{2}.
Dividindo por \rho obtemos
\nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\rho_{0}}{R_{0}}\rho.
Portanto a densidade volumétrica de carga é
\rho_{v}(\rho)=\frac{\rho_{0}}{R_{0}}\rho.

Passo 6

Integrar a densidade volumétrica para obter a carga total contida no volume:
  • Elemento de volume em coordenadas cilíndricas:
dV=\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
  • A carga total Q é
Q=\iiint_{\text{volume}}\rho_{v}\,dV =\int_{z=0}^{1}\int_{\varphi=0}^{2\pi}\int_{\rho=0}^{R_{0}} \left(\frac{\rho_{0}}{R_{0}}\rho\right)\rho\,d\rho\,d\varphi\,dz.
  • Simplificando o integrando: \left(\dfrac{\rho_{0}}{R_{0}}\rho\right)\rho=\dfrac{\rho_{0}}{R_{0}}\rho^{2}. Agora integramos passo a passo.
Integral em \rho:
\int_{0}^{R_{0}}\frac{\rho_{0}}{R_{0}}\rho^{2}\,d\rho =\frac{\rho_{0}}{R_{0}}\left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{R_{0}} =\frac{\rho_{0}}{R_{0}}\cdot\frac{R_{0}^{3}}{3} =\frac{\rho_{0}R_{0}^{2}}{3}.
Integral em \varphi:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi,
multiplicando obtemos \dfrac{2\pi\rho_{0}R_{0}^{2}}{3}.
Integral em z de 0 a 1 apenas multiplica por 1. Portanto a carga total é
Q=\frac{2\pi\,\rho_{0}\,R_{0}^{2}}{3}.
  • Observação útil e reconfortante: esse resultado é igual ao fluxo total através da superfície fechada (fluxo lateral + fluxos das tampas = \Phi_{\text{lat}}+0+0), o que é coerente com o teorema de Gauss (fluxo do fluxo elétrico através da superfície fechada = carga contida).

Resposta

(a) \displaystyle \Phi_{\text{lat}}=\frac{2\pi\,\rho_{0}\,R_{0}^{2}}{3}
(a) \displaystyle \Phi_{\text{sup}}=0
(a) \displaystyle \Phi_{\text{inf}}=0
(b) \displaystyle Q=\frac{2\pi\,\rho_{0}\,R_{0}^{2}}{3}

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