QUEST. 2) Considere que, em uma determinada região do espaço, a densidade de fluxo elétrico é dado por \mathbf{D}= x y^{2} z^{2} a_{x}+x^{2} y z^{2} a_{y}+x^{2} y^{2} z a_{z}. Considere também o cubo definido por 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2 e 0 \leq z \leq 2. Com base nestas informações, faça os itens descritos em seguida.

(4,0)

a) Determine o fluxo elétrico que atravessa cada uma das faces do cubo. (3,0)
b) Determine a carga elétrica dentro do cubo. (1,0)

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A densidade de fluxo elétrico (vetor deslocamento) é
\mathbf{D}=x y^{2} z^{2}\,a_{x}+x^{2} y z^{2}\,a_{y}+x^{2} y^{2} z\,a_{z}.
  • O domínio é o cubo com arestas paralelas aos eixos e vértices em 0\le x\le2, 0\le y\le2, 0\le z\le2.
O que o problema pede:
  • (a) Calcular o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces do cubo.
  • (b) Determinar a carga elétrica dentro do cubo.
Dados relevantes (extraídos do enunciado):
  • Expressão de \mathbf{D} (apresentada acima).
  • Limites do cubo: x\in[0,2], y\in[0,2], z\in[0,2].

Passo 2

Conceito e estratégia para calcular fluxo por uma face plana:
  • O fluxo de \mathbf{D} através de uma superfície S é
\Phi=\iint_{S}\mathbf{D}\cdot\mathbf{\hat n}\,dS,
onde \mathbf{\hat n} é o versor normal à superfície (orientado para fora no caso de superfície fechada).
  • Para uma face do cubo com equação x= constante, o versor normal é \pm a_{x}; para y= constante, \pm a_{y}; para z= constante, \pm a_{z}. O produto escalar \mathbf{D}\cdot\mathbf{\hat n} reduz-se ao componente correspondente de \mathbf{D} (com sinal) avaliado na face.
  • Nas faces do cubo:
    • Face em x=2: normal externo \mathbf{\hat n}=+a_{x}.
    • Face em x=0: normal externo \mathbf{\hat n}=-a_{x}.
    • Face em y=2: normal externo \mathbf{\hat n}=+a_{y}.
    • Face em y=0: normal externo \mathbf{\hat n}=-a_{y}.
    • Face em z=2: normal externo \mathbf{\hat n}=+a_{z}.
    • Face em z=0: normal externo \mathbf{\hat n}=-a_{z}.
  • Logo, para cada face do tipo x= constante:
\Phi_{x=\text{const}}=\iint (\text{componente }D_x\text{ avaliada na face})\times(\pm1)\,dS,
onde dS é o elemento de área da face (produto das outras duas coordenadas).
Antes de calcular, lembrete de integrais básicas que usaremos frequentemente:
\int_{0}^{2} t^{2}\,dt=\left[\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\frac{8}{3}.

Passo 3

Fluxo através das faces x=2 e x=0.
  • Para x=2, \mathbf{\hat n}=+a_{x}, então \mathbf{D}\cdot\mathbf{\hat n}=D_x=x y^{2} z^{2} avaliado em x=2, isto é 2\,y^{2}z^{2}.
    O elemento de área é dS=dy\,dz com y,z\in[0,2]. Assim
    \Phi_{x=2}=\int_{y=0}^{2}\int_{z=0}^{2} 2\,y^{2}z^{2}\,dz\,dy.
    Calcule as integrais separando:
    \int_{y=0}^{2} y^{2}\,dy=\frac{8}{3},\qquad \int_{z=0}^{2} z^{2}\,dz=\frac{8}{3}.
    Portanto
    \Phi_{x=2}=2\left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{8}{3}\right)=2\cdot\frac{64}{9}=\frac{128}{9}.
  • Para x=0, \mathbf{\hat n}=-a_{x}, mas D_x=x y^{2} z^{2} contém fator x. Avaliando em x=0 tem-se D_x(0,y,z)=0. Assim
    \Phi_{x=0}=0.

Passo 4

Fluxo através das faces y=2 e y=0.
  • Para y=2, \mathbf{\hat n}=+a_{y}, então \mathbf{D}\cdot\mathbf{\hat n}=D_y=x^{2} y z^{2} avaliado em y=2 2\,x^{2}z^{2}. O elemento de área é dS=dx\,dz com x,z\in[0,2]. Logo
    \Phi_{y=2}=\int_{x=0}^{2}\int_{z=0}^{2} 2\,x^{2}z^{2}\,dz\,dx.
    Usando \int_{0}^{2} x^{2}\,dx=\frac{8}{3} e \int_{0}^{2} z^{2}\,dz=\frac{8}{3},
    \Phi_{y=2}=2\left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{128}{9}.
  • Para y=0, o componente D_y=x^{2} y z^{2} contém fator y, logo D_y(x,0,z)=0. Assim
    \Phi_{y=0}=0.

Passo 5

Fluxo através das faces z=2 e z=0.
  • Para z=2, \mathbf{\hat n}=+a_{z}, então \mathbf{D}\cdot\mathbf{\hat n}=D_z=x^{2} y^{2} z avaliado em z=2 é 2\,x^{2}y^{2}. O elemento de área é dS=dx\,dy com x,y\in[0,2]. Assim
    \Phi_{z=2}=\int_{x=0}^{2}\int_{y=0}^{2} 2\,x^{2}y^{2}\,dy\,dx.
    Usando \int_{0}^{2} x^{2}\,dx=\frac{8}{3} e \int_{0}^{2} y^{2}\,dy=\frac{8}{3},
    \Phi_{z=2}=2\left(\frac{8}{3}\right)\left(\frac{8}{3}\right)=\frac{128}{9}.
  • Para z=0, D_z=x^{2} y^{2} z tem fator z, logo D_z(x,y,0)=0. Assim
    \Phi_{z=0}=0.

Passo 6

Resumo dos fluxos das seis faces e fluxo total:
  • Obtivemos \Phi_{x=0}=0,\quad \Phi_{x=2}=\frac{128}{9},
\Phi_{y=0}=0,\quad \Phi_{y=2}=\frac{128}{9},
\Phi_{z=0}=0,\quad \Phi_{z=2}=\frac{128}{9}.
  • O fluxo total através da superfície fechada do cubo é a soma: \Phi_{\text{total}}=\frac{128}{9}+\frac{128}{9}+\frac{128}{9}=3\cdot\frac{128}{9}=\frac{384}{9}=\frac{128}{3}.

Passo 7

Conceito e cálculo da carga dentro do cubo (verificação via teorema da divergência):
  • O teorema da divergência (Gauss) diz que a carga livre contida no volume V é igual ao fluxo de \mathbf{D} pela superfície fechada \partial V: Q_{\text{enc}}=\iint_{\partial V}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S}=\iiint_{V}(\nabla\cdot\mathbf{D})\,dV.
  • Calculamos \nabla\cdot\mathbf{D}. Para \mathbf{D}=D_x\,a_x+D_y\,a_y+D_z\,a_z, \nabla\cdot\mathbf{D}=\frac{\partial D_x}{\partial x}+\frac{\partial D_y}{\partial y}+\frac{\partial D_z}{\partial z}.Compute cada derivada: \frac{\partial}{\partial x}(x y^{2} z^{2})=y^{2} z^{2},
\frac{\partial}{\partial y}(x^{2} y z^{2})=x^{2} z^{2},
\frac{\partial}{\partial z}(x^{2} y^{2} z)=x^{2} y^{2}.
Logo
\nabla\cdot\mathbf{D}=y^{2} z^{2}+x^{2} z^{2}+x^{2} y^{2}.

Passo 8

Cálculo da carga por integral de volume (verificação numérica):
  • Usar V:\;x,y,z\in[0,2]. Então Q_{\text{enc}}=\iiint_{V}\left(y^{2} z^{2}+x^{2} z^{2}+x^{2} y^{2}\right)\,dV.Separe em três integrais semelhantes: \iiint_{V} y^{2} z^{2}\,dV =\left(\int_{0}^{2}dx\right)\left(\int_{0}^{2}y^{2}\,dy\right)\left(\int_{0}^{2}z^{2}\,dz\right).Calculando: \int_{0}^{2}dx=2,\qquad \int_{0}^{2}y^{2}\,dy=\frac{8}{3},\qquad \int_{0}^{2}z^{2}\,dz=\frac{8}{3}.Portanto \iiint_{V} y^{2} z^{2}\,dV=2\cdot\frac{8}{3}\cdot\frac{8}{3}=\frac{128}{9}.Pelos mesmos raciocínios, \iiint_{V} x^{2} z^{2}\,dV=\frac{128}{9},\qquad \iiint_{V} x^{2} y^{2}\,dV=\frac{128}{9}.Somando: Q_{\text{enc}}=3\cdot\frac{128}{9}=\frac{384}{9}=\frac{128}{3},
o que coincide com o fluxo total calculado no passo anterior (boa consistência).

Resposta

\Phi_{x=0}=0
\Phi_{x=2}=\dfrac{128}{9}
\Phi_{y=0}=0
\Phi_{y=2}=\dfrac{128}{9}
\Phi_{z=0}=0
\Phi_{z=2}=\dfrac{128}{9}
Q_{\text{dentro}}=\dfrac{128}{3}

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