QUEST. 2) Considere que, em uma determinada região do espaço, a densidade de fluxo elétrico é dado por
. Considere também o cubo definido por
e
. Com base nestas informações, faça os itens descritos em seguida.
a) Determine o fluxo elétrico que atravessa cada uma das faces do cubo.
b) Determine a carga elétrica dentro do cubo.
b) Determine a carga elétrica dentro do cubo.
Passo 1
O enunciado fornece:
- A densidade de fluxo elétrico (vetor deslocamento) é
- O domínio é o cubo com arestas paralelas aos eixos e vértices em
, , .
O que o problema pede:
- (a) Calcular o fluxo elétrico que atravessa cada uma das seis faces do cubo.
- (b) Determinar a carga elétrica dentro do cubo.
Dados relevantes (extraídos do enunciado):
- Expressão de
(apresentada acima). - Limites do cubo:
, , .
Passo 2
Conceito e estratégia para calcular fluxo por uma face plana:
- O fluxo de
através de uma superfície é
onde
é o versor normal à superfície (orientado para fora no caso de superfície fechada).
- Para uma face do cubo com equação
constante, o versor normal é ; para constante, ; para constante, . O produto escalar reduz-se ao componente correspondente de (com sinal) avaliado na face. - Nas faces do cubo:
- Face em
: normal externo . - Face em
: normal externo . - Face em
: normal externo . - Face em
: normal externo . - Face em
: normal externo . - Face em
: normal externo .
- Face em
- Logo, para cada face do tipo
constante:
onde
é o elemento de área da face (produto das outras duas coordenadas).
Antes de calcular, lembrete de integrais básicas que usaremos frequentemente:
Passo 3
Fluxo através das faces
e
.
-
Para
, , então avaliado em , isto é .
O elemento de área écom . Assim Calcule as integrais separando:Portanto -
Para
, , mas contém fator . Avaliando em tem-se . Assim
Passo 4
Fluxo através das faces
e
.
-
Para
, , então avaliado em dá . O elemento de área é com . Logo Usandoe , -
Para
, o componente contém fator , logo . Assim
Passo 5
Fluxo através das faces
e
.
-
Para
, , então avaliado em é . O elemento de área é com . Assim Usandoe , -
Para
, tem fator , logo . Assim
Passo 6
Resumo dos fluxos das seis faces e fluxo total:
- Obtivemos
- O fluxo total através da superfície fechada do cubo é a soma:
Passo 7
Conceito e cálculo da carga dentro do cubo (verificação via teorema da divergência):
- O teorema da divergência (Gauss) diz que a carga livre contida no volume
é igual ao fluxo de pela superfície fechada : - Calculamos
. Para , Compute cada derivada:
Logo
Passo 8
Cálculo da carga por integral de volume (verificação numérica):
- Usar
. Então Separe em três integrais semelhantes: Calculando: Portanto Pelos mesmos raciocínios, Somando:
o que coincide com o fluxo total calculado no passo anterior (boa consistência).