QUEST. 1) Considere uma distribuição de cargas linear e infinita, com densidade \rho_{\mathrm{L}}=\mathrm{Q}_{0} \mathrm{C} / \mathrm{m}, localizada sobre o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas e uma carga pontual \mathrm{Q}_{1}=2 \mathrm{Q}_{0} \mathrm{C} localizada no ponto \mathrm{A}(6,3,4). Determine a força elétrica que age sobre uma carga q=Q_{0} C localizada no ponto \mathrm{P}(1,3,4). (2,5)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
  • Linha infinita de carga localizada sobre o eixo x com densidade linear \lambda=\rho_{\mathrm{L}}=Q_{0}\\ \mathrm{C/m}.
  • Carga pontual \displaystyle Q_{1}=2Q_{0}\\ \mathrm{C} localizada em A(6,3,4).
  • Carga que sentimos a força: \displaystyle q=Q_{0}\\ \mathrm{C} localizada em P(1,3,4).
  • O enunciado pede: determinar a força elétrica total que age sobre q em P. Ou seja, somar vetorialmente a força exercida pela linha infinita e a força exercida pela carga pontual.
Observações úteis (todas vindas do enunciado): as coordenadas dos pontos A e P foram retiradas do enunciado; a linha infinita está sobre todo o eixo x.

Passo 2

Estratégia e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
  • Força de Coulomb entre duas cargas pontuais: a força sobre q devido a uma carga Q localizada em \mathbf{r}_Q é
\mathbf{F} = k\,\dfrac{qQ}{r^{3}}(\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q),
onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}, \mathbf{r}_P é a posição de q, \mathbf{r}_Q é a posição de Q, e r=|\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_Q| é a distância entre elas. Aqui q e Q são os valores das cargas em coulombs.
  • Campo elétrico de uma linha infinita com densidade linear \lambda: por simetria e Lei de Gauss, o módulo do campo a uma distância perpendicular r_\perp da linha é
E_{\text{linha}}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r_\perp}= \dfrac{2k\lambda}{r_\perp}.
Esse campo é radial no plano perpendicular ao eixo da linha (direção do vetor (0,y,z) quando a linha é o eixo x). A força sobre q é \mathbf{F}_{\text{linha}}=q\,\mathbf{E}_{\text{linha}}.
Explicação rápida de por que E_{\text{linha}}=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r_\perp}: escolhe-se um cilindro Gaussiano coaxial de raio r_\perp e comprimento L; o fluxo é E\cdot(2\pi r_\perp L) e a carga encerrada é \lambda L; pela Lei de Gauss E(2\pi r_\perp L)=\lambda L/\varepsilon_0, daí a fórmula acima.

Passo 3

Calcular vetores posição e distâncias (mostrar contas passo a passo):
  • Posição de q: \mathbf{r}_P=(1,3,4).
  • Posição de Q_1: \mathbf{r}_{Q_1}=(6,3,4).
Vetor que liga Q_1 a q:
\mathbf{r}=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_{Q_1}=(1-6,\;3-3,\;4-4)=(-5,\;0,\;0).
Módulo desse vetor:
r=|\mathbf{r}|=\sqrt{(-5)^2+0^2+0^2}=5.
Distância perpendicular do ponto P ao eixo x (para o campo da linha): como a linha está no eixo x, a componente perpendicular é dada pelas coordenadas y e z de P. Assim
r_\perp=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=5.
Nota agradável: tanto a distância entre P e Q_1 quanto a distância perpendicular de P ao eixo x resultaram em 5 — isso simplifica as contas.

Passo 4

Força sobre q devido à carga pontual Q_{1}:
Usando a fórmula de Coulomb vetorial do Passo 2:
\mathbf{F}_{1}=k\,\dfrac{qQ_{1}}{r^{3}}\,\mathbf{r}.
Substituindo \mathbf{r}=(-5,0,0), r=5, q=Q_{0} e Q_{1}=2Q_{0}:
\mathbf{F}_{1}=k\,\dfrac{Q_{0}\cdot 2Q_{0}}{5^{3}}(-5,0,0).
Simplificando 5^3=125 e cancelando um fator 5:
\mathbf{F}_{1}=k\,\dfrac{2Q_{0}^{2}}{125}(-5,0,0)=k\,\dfrac{2Q_{0}^{2}}{25}(-1,0,0).
Portanto
\mathbf{F}_{1}=\left(-\dfrac{2kQ_{0}^{2}}{25},\;0,\;0\right).
Interpretação física rápida: como ambas as cargas são positivas, a força é repulsiva — empurra q no sentido negativo de x, consistente com o sinal negativo no componente x.

Passo 5

Força sobre q devido à linha infinita de carga:
Campo elétrico devido à linha (módulo) é E_{\text{linha}}=\dfrac{2k\lambda}{r_\perp} (veja Passo 2). A direção é radial a partir do eixo x até P; vetorialmente a direção é a do vetor (0,y_P,z_P)=(0,3,4). Logo o campo vetorial pode ser escrito como
\mathbf{E}_{\text{linha}} = \dfrac{2k\lambda}{r_\perp}\,\dfrac{(0,3,4)}{r_\perp} = 2k\lambda\,\dfrac{(0,3,4)}{r_\perp^{2}}.
A força sobre q é \mathbf{F}_{\text{linha}}=q\,\mathbf{E}_{\text{linha}}. Substituindo q=Q_{0}, \lambda=Q_{0} e r_\perp=5:
\mathbf{F}_{\text{linha}} = Q_{0}\cdot 2kQ_{0}\,\dfrac{(0,3,4)}{5^{2}} = 2kQ_{0}^{2}\,\dfrac{(0,3,4)}{25}.
Portanto
\mathbf{F}_{\text{linha}}=\left(0,\;\dfrac{6kQ_{0}^{2}}{25},\;\dfrac{8kQ_{0}^{2}}{25}\right).
Breve interpretação: o campo da linha aponta radialmente para fora do eixo x no plano y\!-\!z; aqui como y=3 e z=4 o vetor direção tem componentes 3 e 4 e o módulo do campo cai como 1/r_\perp.

Passo 6

Somar vetorialmente as contribuições (força total sobre q):
\mathbf{F}_{\text{total}}=\mathbf{F}_{1}+\mathbf{F}_{\text{linha}}.
Substituindo os resultados dos Passos 4 e 5:
\mathbf{F}_{\text{total}}=\left(-\dfrac{2kQ_{0}^{2}}{25},\;0,\;0\right)+\left(0,\;\dfrac{6kQ_{0}^{2}}{25},\;\dfrac{8kQ_{0}^{2}}{25}\right).
Somando componente a componente:
\mathbf{F}_{\text{total}}=\left(-\dfrac{2kQ_{0}^{2}}{25},\;\dfrac{6kQ_{0}^{2}}{25},\;\dfrac{8kQ_{0}^{2}}{25}\right).
Fatorando \dfrac{kQ_{0}^{2}}{25} fica elegante:
\mathbf{F}_{\text{total}}=\dfrac{kQ_{0}^{2}}{25}\,(-2,\;6,\;8).

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida:
  • Dimensionalmente a expressão está em newtons (pois k tem unidades de \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} e aparece multiplicado por Q_{0}^{2}/\mathrm{m^{2}}).
  • Componentes: força tem componente negativa em x (repulsão pela carga pontual), e componentes positivas em y e z (empurrada para fora do eixo x pela linha de carga).
  • Resultado está expresso simbolicamente em função de k e Q_{0}. Se quiser um valor numérico, basta substituir k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} ou k\approx 8{,}98755179\times10^{9}\\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}} e o valor numérico de Q_{0}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_{\text{total}}=\left(-\dfrac{2kQ_{0}^{2}}{25},\;\dfrac{6kQ_{0}^{2}}{25},\;\dfrac{8kQ_{0}^{2}}{25}\right)
\text{ou}\quad \displaystyle \mathbf{F}_{\text{total}}=\dfrac{kQ_{0}^{2}}{25}\,(-2,\;6,\;8),
com k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}.

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