QUEST. 1) Considere uma distribuição de cargas linear e infinita, com densidade
, localizada sobre o eixo x do sistema de coordenadas cartesianas e uma carga pontual
localizada no ponto
. Determine a força elétrica que age sobre uma carga
localizada no ponto
. (2,5)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei estes dados do enunciado):
- Linha infinita de carga localizada sobre o eixo
com densidade linear . - Carga pontual
localizada em . - Carga que sentimos a força:
localizada em . - O enunciado pede: determinar a força elétrica total que age sobre
em . Ou seja, somar vetorialmente a força exercida pela linha infinita e a força exercida pela carga pontual.
Observações úteis (todas vindas do enunciado): as coordenadas dos pontos
e
foram retiradas do enunciado; a linha infinita está sobre todo o eixo
.
Passo 2
Estratégia e fórmulas que vou usar (explicando cada símbolo):
- Força de Coulomb entre duas cargas pontuais: a força sobre
devido a uma carga localizada em é
onde
,
é a posição de
,
é a posição de
, e
é a distância entre elas. Aqui
e
são os valores das cargas em coulombs.
- Campo elétrico de uma linha infinita com densidade linear
: por simetria e Lei de Gauss, o módulo do campo a uma distância perpendicular da linha é
Esse campo é radial no plano perpendicular ao eixo da linha (direção do vetor
quando a linha é o eixo
). A força sobre
é
.
Explicação rápida de por que
: escolhe-se um cilindro Gaussiano coaxial de raio
e comprimento
; o fluxo é
e a carga encerrada é
; pela Lei de Gauss
, daí a fórmula acima.
Passo 3
Calcular vetores posição e distâncias (mostrar contas passo a passo):
- Posição de
: . - Posição de
: .
Vetor que liga
a
:
Módulo desse vetor:
Distância perpendicular do ponto
ao eixo
(para o campo da linha): como a linha está no eixo
, a componente perpendicular é dada pelas coordenadas
e
de
. Assim
Nota agradável: tanto a distância entre
e
quanto a distância perpendicular de
ao eixo
resultaram em
— isso simplifica as contas.
Passo 4
Força sobre
devido à carga pontual
:
Usando a fórmula de Coulomb vetorial do Passo 2:
Substituindo
,
,
e
:
Simplificando
e cancelando um fator
:
Portanto
Interpretação física rápida: como ambas as cargas são positivas, a força é repulsiva — empurra
no sentido negativo de
, consistente com o sinal negativo no componente
.
Passo 5
Força sobre
devido à linha infinita de carga:
Campo elétrico devido à linha (módulo) é
(veja Passo 2). A direção é radial a partir do eixo
até
; vetorialmente a direção é a do vetor
. Logo o campo vetorial pode ser escrito como
A força sobre
é
. Substituindo
,
e
:
Portanto
Breve interpretação: o campo da linha aponta radialmente para fora do eixo
no plano
; aqui como
e
o vetor direção tem componentes 3 e 4 e o módulo do campo cai como
.
Passo 6
Somar vetorialmente as contribuições (força total sobre
):
Substituindo os resultados dos Passos 4 e 5:
Somando componente a componente:
Fatorando
fica elegante:
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida:
- Dimensionalmente a expressão está em newtons (pois
tem unidades de e aparece multiplicado por ). - Componentes: força tem componente negativa em
(repulsão pela carga pontual), e componentes positivas em e (empurrada para fora do eixo pela linha de carga). - Resultado está expresso simbolicamente em função de
e . Se quiser um valor numérico, basta substituir ou e o valor numérico de .
Resposta
com
.