(Questão 01)[2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) 4 x^{2}+9 y^{2}-40 x+36 y+100=0
( )Parábola
b) 2 y^{2}+5 x+8 y=0
( )Uma reta
c) 9 x^{2}+42 x+49=0
( )Hipérbole
d) x^{2}-2 y^{2}+6 x+4 y+9=0
( )Elipse

Passo 1

O enunciado fornece quatro equações de cônicas rotacionadas sem termo xy:
a) 4x^{2}+9y^{2}-40x+36y+100=0
b) 2y^{2}+5x+8y=0
c) 9x^{2}+42x+49=0
d) x^{2}-2y^{2}+6x+4y+9=0
e pede que a gente associe cada letra (a,b,c,d) a um tipo: parábola, reta, hipérbole ou elipse. Para isso usamos o discriminante \Delta = B^{2}-4AC da forma geral
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0,
além de perceber casos degenerados (quando falta uma variável).

Passo 2

Analisando a) 4x^{2}+9y^{2}-40x+36y+100=0: aqui A=4, B=0, C=9, logo
\Delta = 0^{2}-4\cdot4\cdot9 = -144 < 0,
o que caracteriza uma elipse não degenerada.

Passo 3

Analisando b) 2y^{2}+5x+8y=0: não há termo x^2, ou seja A=0, C=2, B=0, então
\Delta = 0^{2}-4\cdot0\cdot2 = 0,
e falta o termo x^2, o que indica uma parábola (eixo horizontal).

Passo 4

Analisando c) 9x^{2}+42x+49=0: não aparece y nem y^2, é degenerada em x somente. Completa-se o quadrado:
9\bigl(x+\tfrac{7}{3}\bigr)^{2}=0
que é a reta dupla x=-\tfrac{7}{3}.

Passo 5

Analisando d) x^{2}-2y^{2}+6x+4y+9=0: aqui A=1, B=0, C=-2, então
\Delta = 0^{2}-4\cdot1\cdot(-2)=8>0,
o que caracteriza uma hipérbole.

Resposta

Parábola: b
Uma reta: c
Hipérbole: d
Elipse: a

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