(Questão 02 ) [ 2,0 pontos] Faça a identificação entre as quádricas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada quádrica.
a) x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x+4 y+6 z-14=0 ( )Esfera
b) -x^{2}-2 y^{2}-3 z^{2}=-8
( )Elipsóide
c) -x^{2}-y+z^{2}=0
( )Parabolóide Elíptico
d) 2 x-z^{2}=\sqrt{7} y^{2}
( )Parabolóide Hiperbólico

Passo 1

O enunciado pede classificar quatro quádricas dadas por suas equações, relacionando-as a uma das superfícies: esfera, elipsóide, parabolóide elíptico ou parabolóide hiperbólico. Para isso, usaremos completamento de quadrados e análise dos sinais dos termos quadráticos.

Passo 2

Analisando a)
x^{2}+y^{2}+z^{2}+2x+4y+6z-14=0
Completamos quadrados:
x^{2}+2x=(x+1)^{2}-1,\quad y^{2}+4y=(y+2)^{2}-4,\quad z^{2}+6z=(z+3)^{2}-9.
Substituindo na equação:
(x+1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+3)^{2} - (1+4+9)-14 = 0
(x+1)^{2}+(y+2)^{2}+(z+3)^{2} = 24
É soma de três quadrados igual a uma constante positiva: trata-se de uma Esfera.

Passo 3

Analisando b)
-\,x^{2}-2y^{2}-3z^{2}=-8
Multiplicando por -1:
x^{2}+2y^{2}+3z^{2}=8.
Soma de três quadrados igual a constante, com todos coeficientes positivos: é um Elipsóide.

Passo 4

Analisando c)
-\,x^{2}-y+z^{2}=0
Isolando y:
y = z^{2} - x^{2}.
Há um termo linear em y e quadráticos em x e z com sinais opostos, caracterizando um Parabolóide Hiperbólico.

Passo 5

Analisando d)
2x - z^{2} = \sqrt{7}\,y^{2}
Isolando x:
x = \frac{z^{2} + \sqrt{7}\,y^{2}}{2}.
Há um termo linear em x e soma de quadrados em y e z: é um Parabolóide Elíptico.

Resposta

Esfera: a
Elipsóide: b
Parabolóide Elíptico: d
Parabolóide Hiperbólico: c

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