(Questão 05) [2,0 pontos] Identifique a superfície na qual todos os pontos P=(x, y, z) estão duas vezes mais afastados do plano z=-1 do que do ponto (0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico de pontos P=(x,y,z) tais que a distância ao plano z=-1 seja o dobro da distância ao ponto (0,0,1). O conteúdo é loci definidos por relações de distâncias em \mathbb{R}^3, e vamos usar a fórmula da distância ponto-plano e ponto-ponto.

Passo 2

A distância de P ao plano z=-1 é
d_{\text{pl}}=\frac{\bigl|z-(-1)\bigr|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=|z+1|.
A distância de P ao ponto (0,0,1) é
d_{\text{pt}}=\sqrt{(x-0)^2+(y-0)^2+(z-1)^2}=\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}.
A condição dada é
|z+1|=2\,\sqrt{x^2+y^2+(z-1)^2}.

Passo 3

Elevando ao quadrado (e usando |z+1|^2=(z+1)^2), obtemos
(z+1)^2 =4\bigl(x^2+y^2+(z-1)^2\bigr).
Expandindo e passando todos os termos para um lado:
z^2+2z+1 =4x^2+4y^2+4z^2-8z+4
\Longrightarrow 4x^2+4y^2+3z^2-10z+3=0.

Passo 4

Para reconhecer o tipo de superfície, completamos o quadrado em z:
4x^2+4y^2+3\bigl(z^2-\tfrac{10}{3}z\bigr)+3=0 \;\Longrightarrow\; 4x^2+4y^2+3\bigl(z-\tfrac{5}{3}\bigr)^2-\tfrac{16}{3}=0
\Longrightarrow\; 4x^2+4y^2+3\bigl(z-\tfrac{5}{3}\bigr)^2=\tfrac{16}{3} \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{4/3}+\frac{y^2}{4/3}+\frac{(z-5/3)^2}{16/9}=1.

Passo 5

Essa equação é de um elipsoide centrado em \bigl(0,0,\tfrac{5}{3}\bigr), com semi-eixos a=b=2/\sqrt{3} ao longo de x,y e c=4/3 ao longo de z.

Resposta

A superfície é o elipsoide dado por
4x^2+4y^2+3z^2-10z+3=0,\nequivalentemente
\frac{x^2}{4/3}+\frac{y^2}{4/3}+\frac{(z-5/3)^2}{16/9}=1.

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