(Questão 01)[2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a)
b)
c)
d)
( )Parábola
( )Duas retas paralelas
( )Hipérbole
( )Elipse
a)
b)
c)
d)
( )Parábola
( )Duas retas paralelas
( )Hipérbole
( )Elipse
Passo 1
O enunciado pede que se identifique, para cada uma das quatro equações dadas, qual é o tipo de cônica correspondente, usando as quatro opções disponíveis: parábola, duas retas paralelas, hipérbole, elipse. As equações fornecidas são:
- a)
- b)
- c)
- d)
O objetivo: para cada linha (a–d) indicar qual das opções é a correta.
Passo 2
Análise da equação (a)
.
Primeiro passo prático: fatorar a expressão quando possível.
Isto é equivalente a escrever
Interpretação geométrica: cada solução
constante representa uma reta horizontal. Como são duas retas com as mesmas direções (horizontais) e diferentes ordenadas, são duas retas paralelas. Observação didática: quando um polinômio quadrático em
e
fatora como produto de dois fatores lineares distintos, a cônica é degenerada e corresponde a duas retas (paralelas, coincidentes ou concorrentes, dependendo dos fatores). Aqui são duas retas paralelas.
Conclusão parcial: a) corresponde a duas retas paralelas.
Passo 3
Análise da equação (b)
.
Método: completar o quadrado para cada variável (isso é o jeito clássico para identificar elipses/hipérboles/parábolas e obter a forma padrão).
Agrupando termos em
e
:
Completar o quadrado em
:
logo
Completar o quadrado em
:
logo
Substituindo de volta:
Simplificando os constantes:
Dividindo por
para obter a forma canônica:
Interpretação: temos soma de dois quadrados com coeficientes positivos igual a
. Isso é exatamente a forma padrão de uma elipse. (Se os denominadores fossem iguais e os coeficientes iguais, seria um círculo; aqui são diferentes, então é elipse alongada.)
Conclusão parcial: b) é uma elipse.
Passo 4
Análise da equação (c)
.
Estratégia prática numa prova: isolar a variável que aparece apenas de grau 1 (aqui
aparece linear) e ver que
é uma função quadrática de
. Isso caracteriza uma parábola com eixo horizontal (abre para a esquerda ou direita dependendo do sinal).
Reescrevendo:
Isto é uma função polinomial quadrática em
; geometricamente, a curva tem apenas termos quadráticos em uma variável (
) e termos lineares na outra (
), o que define uma parábola. Para entender o sentido de abertura: o coeficiente de
na expressão de
é
(negativo), portanto é uma parábola que abre para a esquerda (em termos de
em função de
). Dica prática: quando só aparece um termo quadrático (somente
ou somente
), é parábola (salvo casos degenerados).
Conclusão parcial: c) é parábola.
Passo 5
Análise da equação (d)
.
Vamos também completar quadrados para colocar numa forma padrão e ver os sinais dos quadrados.
Agrupando:
Tratar o bloco em
:
Tratar o bloco em
:
Somando tudo:
Somando constantes
, logo:
Multiplicando por
:
Dividindo por
para a forma padrão:
Interpretação: os dois termos quadráticos aparecem com sinais opostos (um positivo, outro negativo) e o lado direito é
. Isso é a forma padrão de uma hipérbole. Portanto a cônica é uma hipérbole (com centro em
e eixo principal no sentido de
, visto que o termo positivo é o de
).
Conclusão parcial: d) é hipérbole.
Passo 6
Verificação alternativa curta (método do discriminante para aprendizado rápido numa prova).
Para a forma geral da cônica
o discriminante
é dado por
Regra prática (não absoluta em casos degenerados, mas muito útil):
- Se
e a cônica não for degenerada elipse (ou círculo). - Se
parábola ou conica degenerada do tipo duas retas paralelas/coincidentes. - Se
hipérbole.
Aplicando rapidamente:
-
Para (a)
: temos , , então . indica parábola ou degeneração; fatorando vimos que é degenerada em duas retas paralelas — confirma a análise. -
Para (b)
: , , então → elipse (conforme complet. quadrado mostrou). -
Para (c)
: , , então → parábola ou degeneração; aqui não há fatoração em duas retas, e a forma mostra parabola (confirmado). -
Para (d)
: , , então → hipérbole (confirmado).
Dica rápida de prova: primeiro verifique se a expressão fatora (degenerada). Se não, complete quadrados; como atalho use o sinal relativo de
e
(mesmo sinal → elipse; sinais opostos → hipérbole; só um quadrado presente → parábola), ou use
.
Resposta
a) Duas retas paralelas
b) Elipse
c) Parábola
d) Hipérbole
b) Elipse
c) Parábola
d) Hipérbole