(Questão 01)[2,0 pontos] Faça a identificação entre as cônicas e suas equações, preenchendo com a letra correspondente a lacuna à esquerda de cada cônica.
a) y^{2}-1=0
b) 9 x^{2}+4 y^{2}+36 x-40 y+100=0
c) 3 y^{2}+2 x-y=0
d) -x^{2}+2 y^{2}+6 x+4 y+9=0
( )Parábola
( )Duas retas paralelas
( )Hipérbole
( )Elipse

Passo 1

O enunciado pede que se identifique, para cada uma das quatro equações dadas, qual é o tipo de cônica correspondente, usando as quatro opções disponíveis: parábola, duas retas paralelas, hipérbole, elipse. As equações fornecidas são:
  • a) y^{2}-1=0
  • b) 9x^{2}+4y^{2}+36x-40y+100=0
  • c) 3y^{2}+2x-y=0
  • d) -x^{2}+2y^{2}+6x+4y+9=0
O objetivo: para cada linha (a–d) indicar qual das opções é a correta.

Passo 2

Análise da equação (a) y^{2}-1=0.
Primeiro passo prático: fatorar a expressão quando possível.
y^{2}-1=(y-1)(y+1).
Isto é equivalente a escrever
(y-1)(y+1)=0\quad\Longrightarrow\quad y=1\\ \text{ou}\\ y=-1.
Interpretação geométrica: cada solução y= constante representa uma reta horizontal. Como são duas retas com as mesmas direções (horizontais) e diferentes ordenadas, são duas retas paralelas. Observação didática: quando um polinômio quadrático em x e y fatora como produto de dois fatores lineares distintos, a cônica é degenerada e corresponde a duas retas (paralelas, coincidentes ou concorrentes, dependendo dos fatores). Aqui são duas retas paralelas.
Conclusão parcial: a) corresponde a duas retas paralelas.

Passo 3

Análise da equação (b) 9x^{2}+4y^{2}+36x-40y+100=0.
Método: completar o quadrado para cada variável (isso é o jeito clássico para identificar elipses/hipérboles/parábolas e obter a forma padrão).
Agrupando termos em x e y:
9(x^{2}+4x)+4(y^{2}-10y)+100=0.
Completar o quadrado em x:
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4,
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9(x^{2}+4x)=9(x+2)^{2}-36.
Completar o quadrado em y:
y^{2}-10y=(y-5)^{2}-25,
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4(y^{2}-10y)=4(y-5)^{2}-100.
Substituindo de volta:
9(x+2)^{2}-36 + 4(y-5)^{2}-100 + 100 =0.
Simplificando os constantes:
9(x+2)^{2}+4(y-5)^{2}-36=0 \quad\Longrightarrow\quad 9(x+2)^{2}+4(y-5)^{2}=36.
Dividindo por 36 para obter a forma canônica:
\frac{(x+2)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{9}=1.
Interpretação: temos soma de dois quadrados com coeficientes positivos igual a 1. Isso é exatamente a forma padrão de uma elipse. (Se os denominadores fossem iguais e os coeficientes iguais, seria um círculo; aqui são diferentes, então é elipse alongada.)
Conclusão parcial: b) é uma elipse.

Passo 4

Análise da equação (c) 3y^{2}+2x-y=0.
Estratégia prática numa prova: isolar a variável que aparece apenas de grau 1 (aqui x aparece linear) e ver que x é uma função quadrática de y. Isso caracteriza uma parábola com eixo horizontal (abre para a esquerda ou direita dependendo do sinal).
Reescrevendo:
2x = -3y^{2}+y \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{3}{2}y^{2}+\frac{1}{2}y.
Isto é uma função polinomial quadrática em y; geometricamente, a curva tem apenas termos quadráticos em uma variável ( y^{2}) e termos lineares na outra ( x), o que define uma parábola. Para entender o sentido de abertura: o coeficiente de y^{2} na expressão de x é -\tfrac{3}{2} (negativo), portanto é uma parábola que abre para a esquerda (em termos de x em função de y). Dica prática: quando só aparece um termo quadrático (somente x^{2} ou somente y^{2}), é parábola (salvo casos degenerados).
Conclusão parcial: c) é parábola.

Passo 5

Análise da equação (d) -x^{2}+2y^{2}+6x+4y+9=0.
Vamos também completar quadrados para colocar numa forma padrão e ver os sinais dos quadrados.
Agrupando:
(-x^{2}+6x)+ (2y^{2}+4y)+9=0.
Tratar o bloco em x:
-x^{2}+6x = -\bigl(x^{2}-6x\bigr) = -\bigl((x-3)^{2}-9\bigr) = -(x-3)^{2}+9.
Tratar o bloco em y:
2y^{2}+4y = 2\bigl(y^{2}+2y\bigr)=2\bigl((y+1)^{2}-1\bigr)=2(y+1)^{2}-2.
Somando tudo:
-(x-3)^{2}+9 + 2(y+1)^{2}-2 +9 =0.
Somando constantes 9-2+9=16, logo:
-(x-3)^{2}+2(y+1)^{2}+16=0 \quad\Longrightarrow\quad -(x-3)^{2}+2(y+1)^{2}=-16.
Multiplicando por -1:
(x-3)^{2}-2(y+1)^{2}=16.
Dividindo por 16 para a forma padrão:
\frac{(x-3)^{2}}{16}-\frac{(y+1)^{2}}{8}=1.
Interpretação: os dois termos quadráticos aparecem com sinais opostos (um positivo, outro negativo) e o lado direito é 1. Isso é a forma padrão de uma hipérbole. Portanto a cônica é uma hipérbole (com centro em (3,-1) e eixo principal no sentido de x, visto que o termo positivo é o de x).
Conclusão parcial: d) é hipérbole.

Passo 6

Verificação alternativa curta (método do discriminante para aprendizado rápido numa prova).
Para a forma geral da cônica
Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0
o discriminante \Delta é dado por
\Delta = B^{2}-4AC.
Regra prática (não absoluta em casos degenerados, mas muito útil):
  • Se \Delta<0 e a cônica não for degenerada \Rightarrow elipse (ou círculo).
  • Se \Delta=0 \Rightarrow parábola ou conica degenerada do tipo duas retas paralelas/coincidentes.
  • Se \Delta>0 \Rightarrow hipérbole.
Aplicando rapidamente:
  • Para (a) y^{2}-1=0: temos A=0, B=0, C=1 então \Delta=0-4\cdot0\cdot1=0. \Delta=0 indica parábola ou degeneração; fatorando vimos que é degenerada em duas retas paralelas — confirma a análise.
  • Para (b) 9x^{2}+4y^{2}+\dots: A=9, B=0, C=4 então \Delta=0-4\cdot9\cdot4=-144<0 → elipse (conforme complet. quadrado mostrou).
  • Para (c) 3y^{2}+2x-y=0: A=0, B=0, C=3 então \Delta=0 → parábola ou degeneração; aqui não há fatoração em duas retas, e a forma mostra parabola (confirmado).
  • Para (d) -x^{2}+2y^{2}+\dots: A=-1, B=0, C=2 então \Delta=0-4\cdot(-1)\cdot2=8>0 → hipérbole (confirmado).
Dica rápida de prova: primeiro verifique se a expressão fatora (degenerada). Se não, complete quadrados; como atalho use o sinal relativo de A e C (mesmo sinal → elipse; sinais opostos → hipérbole; só um quadrado presente → parábola), ou use \Delta.

Resposta

a) Duas retas paralelas
b) Elipse
c) Parábola
d) Hipérbole

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