Questão 01. Calcule o fluxo de \vec{F}, na direção de \vec{n} (vetor unitário), através da fronteira \gamma, usando \int_{\gamma} \vec{F} \cdot \vec{n} d s e \iint_{K} \operatorname{div} \vec{F} d x d y e compare os resultados, nos seguintes casos:
\vec{F}=y \vec{i}+x \vec{j}, \gamma(t)=\left(t, t^{2}\right), 0 \leq t \leq 1 e \vec{n} a normal com y<0.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o fluxo de \vec{F} através da fronteira \gamma de uma região K de duas maneiras: (i) diretamente pela integral de linha \int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds e (ii) pelo teorema da divergência (forma bidimensional), ou seja \iint_{K}\operatorname{div}\vec{F}\,dx\,dy, e comparar os resultados. Dados fornecidos:
  • \vec{F}(x,y)=y\,\vec{i}+x\,\vec{j}.
  • Uma curva dada por \gamma(t)=\big(t,t^{2}\big), com 0\le t\le 1. Esta é a porção da parábola y=x^{2} entre os pontos (0,0) e (1,1).
  • A normal indicada satisfaz y<0 (isto indica a escolha da normal apontando para baixo ao longo da parábola, ou seja, a normal “externa” em relação à região que fica acima da parábola).
    Informação implícita que vamos usar: para aplicar o teorema da divergência (no plano) é preciso trabalhar com uma curva fechada que seja a fronteira de uma região K. A porção dada da parábola por si só não é fechada, então tomaremos a fronteira fechada \partial K composta por:
  • a parábola \gamma_1(t)=\big(t,t^2\big),\;0\le t\le1 (o arco fornecido), e
  • o segmento de reta \gamma_2(s)=(s,s),\;1\ge s\ge0 (a linha y=x que fecha a região entre y=x^2 e y=x).
    O enunciado pede que calculemos o fluxo e comparemos os resultados das duas abordagens.

Passo 2

Primeira coisa didática: o que é “fluxo” e como calcular por integral de linha.
  • Fluxo através de uma curva orientada por uma normal unitária \vec{n} é \displaystyle\int_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds. Aqui ds é o comprimento de arco e \vec{n} é o versor normal (direção escolhida: para fora da região).
  • Se a curva \gamma é parametrizada por \vec{r}(t), então \vec{r}'(t) é o vetor tangente não-unitário e |\vec{r}'(t)|\,dt=ds.
  • Uma fórmula prática para obter a normal externa (quando a curva é percorrida no sentido positivo, isto é, região à esquerda) é:
\vec{n}=\frac{\big(y'(t),-x'(t)\big)}{\big|\vec{r}'(t)\big|},
onde \vec{r}(t)=(x(t),y(t)). Vou usar essa expressão (explico: rota-se o vetor tangente \vec{r}' em -90^\circ e normaliza-se).
  • Alternativamente, fluxo também pode ser calculado como \displaystyle\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\frac{\vec{r}'(t)}{|\vec{r}'(t)|}\,|\vec{r}'(t)|\,dt=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{n}\,|\vec{r}'(t)|\,dt.

Passo 3

Segunda coisa didática: teorema da divergência (no plano).
  • Para uma região K com fronteira fechada e orientada positivamente (sentido anti-horário), vale
\int_{\partial K}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iint_{K}\operatorname{div}\vec{F}\,dx\,dy.
  • Aqui \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial F_1}{\partial x}+\dfrac{\partial F_2}{\partial y}. Vou calcular \operatorname{div}\vec{F} para verificar o que acontece com o integrando de área.
Calcule \operatorname{div}\vec{F}:
\operatorname{div}\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(y)+\frac{\partial}{\partial y}(x)=0+0=0.
Portanto, independentemente da região K, tem-se
\iint_{K}\operatorname{div}\vec{F}\,dx\,dy=0.
Conclusão pela forma integral do teorema: o fluxo total através da fronteira fechada \partial K (parábola + segmento de reta) é 0.

Passo 4

Agora vamos calcular explicitamente o fluxo pela integral de linha para cada pedaço da fronteira fechada e verificar que a soma dá zero (assim confirmamos concretamente o teorema). Primeiro a parábola \gamma_{1}(t)=\big(t,t^{2}\big),\;0\le t\le1.
Calcule derivadas e comprimento:
\vec{r}_1'(t)=\big(1,2t\big),\qquad \big|\vec{r}_1'(t)\big|=\sqrt{1+4t^{2}}.
Normal externa (pela fórmula \vec{n}=(y',-x')/|\vec{r}'|):
\vec{n}_1(t)=\frac{\big(2t,-1\big)}{\sqrt{1+4t^{2}}}.
Avalie \vec{F} ao longo da curva:
\vec{F}(\vec{r}_1(t))=\big(t^{2},t\big).
Produto escalar \vec{F}\cdot\vec{n}:
\vec{F}(\vec{r}_1(t))\cdot\vec{n}_1(t) =\frac{t^{2}\cdot 2t + t\cdot(-1)}{\sqrt{1+4t^{2}}} =\frac{2t^{3}-t}{\sqrt{1+4t^{2}}}.
Agora \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\big(\vec{F}\cdot\vec{n}\big)\,|\vec{r}'(t)|\,dt. Note que o \sqrt{1+4t^{2}} cancela:
\big(\vec{F}\cdot\vec{n}\big)\,|\vec{r}'(t)| = \frac{2t^{3}-t}{\sqrt{1+4t^{2}}}\cdot\sqrt{1+4t^{2}} = 2t^{3}-t.
Integramos de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\big(2t^{3}-t\big)\,dt =\left[\frac{2t^{4}}{4}-\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\left[\frac{t^{4}}{2}-\frac{t^{2}}{2}\right]_{0}^{1} =\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Portanto o fluxo através da parábola (com a normal escolhida, que tem componente y<0 conforme pedido) é 0.

Passo 5

Agora calcular o fluxo pelo segmento de reta que fecha a região: \gamma_{2}(s)=(s,s) com s variando de 1 até 0 (para percorrer de (1,1) de volta a (0,0) e manter a orientação positiva da fronteira, isto é, região à esquerda).
Derivada e comprimento:
\vec{r}_2'(s)=(-1,-1),\qquad \big|\vec{r}_2'(s)\big|=\sqrt{2}.
Normal externa pela mesma fórmula:
\vec{n}_2(s)=\frac{\big(y',-x'\big)}{|\vec{r}_2'|}=\frac{(-1,1)}{\sqrt{2}}.
Avalie \vec{F} ao longo da reta:
\vec{F}(\vec{r}_2(s))=(s,s).
Produto escalar:
\vec{F}(\vec{r}_2(s))\cdot\vec{n}_2(s) =\frac{s\cdot(-1)+s\cdot 1}{\sqrt{2}}=0.
Então \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=0\cdot |\vec{r}_2'(s)|\,ds=0. Integrando desde s=1 até s=0 0. Assim o fluxo através do segmento de reta também é 0.

Passo 6

Juntando as duas contribuições (parábola e segmento), o fluxo total através da fronteira fechada \partial K é 0+0=0, o que coincide com o resultado do teorema da divergência, pois \iint_{K}\operatorname{div}\vec{F}\,dx\,dy=0 (já calculado no Passo 3). Comentário prático: aqui a divergência nula fez com que tanto a integral de área fosse zero quanto cada parcela da fronteira tenha integrando que se anula; portanto as duas abordagens concordam.

Resposta

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