Questão 02. Calcule o fluxo de \vec{F}, na direção de \vec{n} (vetor unitário), através da fronteira \gamma nos seguintes casos:
\vec{F}=x \vec{i}+y \vec{j}, \gamma é a fronteira do triângulo (lados x=0, y=0 e x+y=1 ) e \vec{n} a normal que aponta para fora do triângulo, sendo \gamma orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver nada ainda.
  • Vetor campo dado: \vec{F}=x\,\vec{i}+y\,\vec{j}.
  • A curva \gamma é a fronteira do triângulo limitado pelas retas x=0, y=0 e x+y=1.
  • A normal \vec{n} é o vetor unitário normal que aponta para fora do triângulo.
  • A orientação da curva \gamma é anti-horária (sentido anti-horário).
O que é pedido:
  • Calcular o fluxo de \vec{F} através da fronteira \gamma na direção de \vec{n}. Ou seja, calcular
\oint_{\gamma} \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds,
onde ds é o elemento de comprimento ao longo de \gamma e \vec{n} é a normal externa.

Passo 2

Escolha do método e por quê.
  • Temos uma integral de fluxo ao longo de uma curva fechada em plano. Existe um teorema muito prático que transforma esse tipo de integral de linha em uma integral dupla sobre a região interna: a forma de fluxo do Teorema de Green (também chamada de teorema da divergência em 2D).
  • Motivo prático: o campo \vec{F} é simples e a divergência é muito fácil de calcular; a região é um triângulo simples — o cálculo vira só uma integral dupla de uma função constante sobre uma região de área fácil. Isso é muito mais curto do que parametrizar cada aresta e somar três integrais de linha.

Passo 3

Enunciado (explicado) do teorema que vou usar e significado dos símbolos.
  • Teorema (forma fluxo de Green): para uma região plana D com fronteira fechada \gamma orientada positivamente (anti-horário) e com \vec{n} a normal unitária externa, vale
\oint_{\gamma} \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds = \iint_{D} \operatorname{div}\vec{F}\,dA.
  • Aqui:
    • \vec{F}=(P(x,y),Q(x,y)) é o campo vetorial.
    • \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y} é a divergência de \vec{F}.
    • dA é o elemento de área no plano.
    • O lado esquerdo é exatamente o fluxo pela fronteira com normal externa (o que o enunciado pede).

Passo 4

Aplicar o teorema ao nosso campo: calcular a divergência.
  • Identifico P(x,y)=x e Q(x,y)=y.
  • Calculo as derivadas parciais: \dfrac{\partial P}{\partial x}=\dfrac{\partial}{\partial x}(x)=1, \qquad \dfrac{\partial Q}{\partial y}=\dfrac{\partial}{\partial y}(y)=1.
  • Portanto \operatorname{div}\vec{F}=\dfrac{\partial P}{\partial x}+\dfrac{\partial Q}{\partial y}=1+1=2.
  • Observação didática: a divergência mede, localmente, a taxa com que o campo “sai” de um ponto; aqui é constante igual a 2 em toda a região, o que torna a integral dupla trivial.

Passo 5

Descrever a região D e montar a integral dupla.
  • A região D é o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Pode descrevê-la como D=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\; 0\le y\le 1-x\}.
  • Pelo teorema, \oint_{\gamma} \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds = \iint_{D} 2\,dA.
  • Vou calcular a integral iterada escolhendo integrar primeiro em y: \iint_{D} 2\,dA = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} 2\,dy\right)dx.

Passo 6

Calcular a integral passo a passo.
  • Integração interna em y: \int_{y=0}^{1-x} 2\,dy = 2\bigl[y\bigr]_{0}^{1-x} = 2(1-x).
  • Agora integrar em x: \int_{x=0}^{1} 2(1-x)\,dx = 2\int_{0}^{1}(1-x)\,dx.
  • Calculo da integral: \int_{0}^{1}(1-x)\,dx = \bigl[x-\tfrac{x^{2}}{2}\bigr]_{0}^{1} = 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}.
  • Então 2\cdot \tfrac{1}{2}=1.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
  • Fluxo calculado foi 1.
  • Checagem intuitiva: como \operatorname{div}\vec{F}=2 constante, o fluxo sobre a fronteira é 2 vezes a área do triângulo; a área do triângulo é \tfrac{1}{2}, logo 2\cdot\tfrac{1}{2}=1. Dá o mesmo resultado — consistência confirmada.

Resposta

1

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