Questão 02. Calcule o fluxo de \vec{F}, na direção de \vec{n} (vetor unitário), através da fronteira \gamma nos seguintes casos:
\vec{F}=x^{2} y \vec{j}, \gamma é a fronteira do triângulo (lados x=0, y=0 e x+y=1 ) e \vec{n} a normal que aponta para fora do triângulo, sendo \gamma orientado no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • O campo vetorial é \vec{F}=x^{2}y\,\vec{j}.
  • A curva \gamma é a fronteira do triângulo com lados \,x=0\,,\,y=0\,,\,x+y=1. Ou seja, a região D é \{(x,y)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1\}. Os vértices do triângulo são (0,0), (1,0) e (0,1).
  • A normal \vec{n} é a normal unitária apontando para fora do triângulo.
  • A orientação de \gamma é anti-horária (sentido positivo).
O que o problema pede:
  • Calcular o fluxo de \vec{F} através de \gamma na direção de \vec{n}, isto é o valor de \displaystyle\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • Uma forma direta seria parametrizar cada aresta do triângulo e calcular três integrais de linha de \vec{F}\cdot\vec{n}\,ds. Isso funciona, mas dá trabalho a mais.
  • Há um teorema mais prático aqui (a versão planar da divergência / Teorema de Green para fluxo) que transforma a integral de fluxo pela fronteira numa integral dupla sobre a região D. Como o enunciado pede fluxo por uma fronteira fechada e a curva está orientada positivamente (anti-horário), esse teorema se aplica e é bem mais rápido. Vou usá-lo.

Passo 3

Enunciado do teorema usado e explicação didática:
  • Se \vec{F}=(P,Q) é um campo vetorial em \mathbb{R}^2 e D é uma região plana com fronteira \partial D orientada positivamente, então a integral de fluxo para a normal externa satisfaz
\oint_{\partial D}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iint_{D}\nabla\cdot\vec{F}\,dA.
  • Aqui \nabla\cdot\vec{F} (divergência) é definida por
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}.
Interpretação curta e intuitiva: \nabla\cdot\vec{F} mede a taxa de “saída” do campo por unidade de área; integrar essa quantidade sobre D dá o fluxo total saindo por toda a fronteira.

Passo 4

Identificar componentes de \vec{F} e calcular a divergência:
  • Escrevendo \vec{F}=(P,Q) temos P=0 e Q=x^{2}y.
  • Então
\frac{\partial P}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial Q}{\partial y}=x^{2}.
  • Logo
\nabla\cdot\vec{F}=x^{2}.

Passo 5

Montar a integral dupla sobre a região D:
  • Pelo teorema,
\oint_{\gamma}\vec{F}\cdot\vec{n}\,ds=\iint_{D} x^{2}\,dA.
  • Para descrever D convenientemente, fixamos x de 0 a 1 e, para cada x, y varia de 0 até 1-x. Assim os limites são
\iint_{D} x^{2}\,dA=\int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{1-x} x^{2}\,dy\right)dx.

Passo 6

Calcular a integral interna (em y):
\int_{y=0}^{1-x} x^{2}\,dy = x^{2}\bigg[y\bigg]_{0}^{1-x}=x^{2}(1-x).

Passo 7

Calcular a integral externa (em x) até obter a expressão final antes de simplificar:
\int_{0}^{1} x^{2}(1-x)\,dx=\int_{0}^{1}\bigl(x^{2}-x^{3}\bigr)\,dx=\left[\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}\right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}.

Resposta

\dfrac{1}{12}

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