Questão 02. Calcule o fluxo de
, na direção de
(vetor unitário), através da fronteira
nos seguintes casos:
é a fronteira do triângulo (lados
e
) e
a normal que aponta para fora do triângulo, sendo
orientado no sentido anti-horário.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- O campo vetorial é
. - A curva
é a fronteira do triângulo com lados . Ou seja, a região é . Os vértices do triângulo são , e . - A normal
é a normal unitária apontando para fora do triângulo. - A orientação de
é anti-horária (sentido positivo).
O que o problema pede:
- Calcular o fluxo de
através de na direção de , isto é o valor de .
Passo 2
Escolha do método (e por quê):
- Uma forma direta seria parametrizar cada aresta do triângulo e calcular três integrais de linha de
. Isso funciona, mas dá trabalho a mais. - Há um teorema mais prático aqui (a versão planar da divergência / Teorema de Green para fluxo) que transforma a integral de fluxo pela fronteira numa integral dupla sobre a região
. Como o enunciado pede fluxo por uma fronteira fechada e a curva está orientada positivamente (anti-horário), esse teorema se aplica e é bem mais rápido. Vou usá-lo.
Passo 3
Enunciado do teorema usado e explicação didática:
- Se
é um campo vetorial em e é uma região plana com fronteira orientada positivamente, então a integral de fluxo para a normal externa satisfaz
- Aqui
(divergência) é definida por
Interpretação curta e intuitiva:
mede a taxa de “saída” do campo por unidade de área; integrar essa quantidade sobre
dá o fluxo total saindo por toda a fronteira.
Passo 4
Identificar componentes de
e calcular a divergência:
- Escrevendo
temos e . - Então
- Logo
Passo 5
Montar a integral dupla sobre a região
:
- Pelo teorema,
- Para descrever
convenientemente, fixamos de a e, para cada , varia de até . Assim os limites são
Passo 6
Calcular a integral interna (em
):
Passo 7
Calcular a integral externa (em
) até obter a expressão final antes de simplificar: