QUESTÃO 01 : Considerando x \in \mathbb{R}, calcule:
\left(\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{2}\right)^{2}=

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
\left(\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{2}\right)^{2}
sendo dado que x\in\mathbb{R}. Informação importante sobre domínio: a expressão envolve raízes quadradas \sqrt{\frac{x}{2}} e \sqrt{2}. A raiz \sqrt{2} está sempre definida (é um número real). Já \sqrt{\frac{x}{2}} exige que \frac{x}{2}\ge 0, ou seja, que x\ge 0, para que toda a expressão seja real. Portanto, para interpretação real, devemos ter x\ge 0. O que se pede é simplificar essa potência ao quadrado.

Passo 2

Vamos usar a identidade algébrica básica do quadrado da soma:
(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2},
onde a e b são quaisquer números (ou expressões) reais. Essa fórmula vem de multiplicar (a+b)(a+b) e somar os termos semelhantes:
(a+b)(a+b)=a^2+ab+ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Passo 3

Identificamos as parcelas a e b na expressão original. Seja
a=\sqrt{\frac{x}{2}},\qquad b=\sqrt{2}.
Substituindo na identidade, temos
\left(\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{2}\right)^{2} = \left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right)^{2} + 2\sqrt{\frac{x}{2}}\sqrt{2} + (\sqrt{2})^{2}.

Passo 4

Calculemos cada termo separadamente. Primeiro,
\left(\sqrt{\frac{x}{2}}\right)^{2}=\frac{x}{2},
pois, por definição, a operação inversa da raiz quadrada é o quadrado: para u\ge0, (\sqrt{u})^{2}=u.

Passo 5

Agora o termo do meio (o duplo produto):
2\sqrt{\frac{x}{2}}\sqrt{2}=2\sqrt{\frac{x}{2}\cdot 2}.
Aqui usei a propriedade das raízes para números não-negativos: \sqrt{u}\sqrt{v}=\sqrt{uv} quando u\ge0 e v\ge0. Como \frac{x}{2}\cdot 2 = x, obtemos
2\sqrt{\frac{x}{2}}\sqrt{2}=2\sqrt{x}.

Passo 6

Por fim, o último termo é simples:
(\sqrt{2})^{2}=2.

Passo 7

Somando os três termos que calculamos:
\left(\sqrt{\frac{x}{2}}+\sqrt{2}\right)^{2}=\frac{x}{2}+2\sqrt{x}+2.
Observação adicional (forma alternativa): podemos também escrever a expressão numa forma quadrática em \sqrt{x}:
\frac{x}{2}+2\sqrt{x}+2=\frac{x+4\sqrt{x}+4}{2}=\frac{(\sqrt{x}+2)^{2}}{2}.

Resposta

\dfrac{x}{2}+2\sqrt{x}+2

Exercícios relacionados