QUESTÃO 01 : Considerando x \in \mathbb{R}, calcule:
\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{3}=

Passo 1

O enunciado pede que se calcule a expressão
\sqrt{\frac{1}{3}}-\sqrt{3},
considerando x\in\mathbb{R} (a indicação x\in\mathbb{R} não é necessária para resolver esta expressão). Informação dada: o valor dentro das raízes é positivo, logo as raízes quadradas são números reais. O que se pede: simplificar/avaliar a expressão numérica e, se possível, apresentar numa forma convencional (sem raiz no denominador).

Passo 2

Transformar \sqrt{\dfrac{1}{3}} em uma forma mais manejável usando a propriedade das raízes: para a\ge0 e b>0 vale
\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.
Aqui a=1 e b=3, portanto
\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Explicação didática: a raiz quadrada de uma fração é a razão entre as raízes, porque a operação de elevar ao quadrado e de extrair raiz são inversas e preservam a multiplicação/divisão quando os argumentos são não negativos.

Passo 3

Substituindo na expressão original obtemos
\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}.
Para somar/subtrair frações/algebricamente, é útil ter denominador comum. Escrevendo \sqrt{3} com denominador \sqrt{3} temos
\sqrt{3}=\frac{3}{\sqrt{3}},
pois \dfrac{3}{\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{3}\,\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}.
Então
\frac{1}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{3}{\sqrt{3}}=\frac{1-3}{\sqrt{3}}=\frac{-2}{\sqrt{3}}.
Explicação passo a passo: coloquei as duas parcelas sobre o mesmo denominador \sqrt{3}, subtrai numeradores 1-3=-2, mantendo o denominador.

Passo 4

É comum, por convenção, evitar ter raiz no denominador. Para eliminar a raiz do denominador (racionalizar), multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{3}:
\frac{-2}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{-2\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2}=\frac{-2\sqrt{3}}{3}.
Aqui usei que (\sqrt{3})^2=3. Resultado final em forma racionalizada: \dfrac{-2\sqrt{3}}{3}.

Passo 5

Checagem numérica rápida (opcional, só para conferir):
\sqrt{\tfrac{1}{3}}\approx 0{,}57735,\qquad \sqrt{3}\approx 1{,}73205,
então a diferença é aproximadamente
0{,}57735-1{,}73205\approx -1{,}15470.
E o valor encontrado \dfrac{-2\sqrt{3}}{3} vale
-\frac{2\sqrt{3}}{3}\approx -\frac{2\cdot1{,}73205}{3}\approx -1{,}15470,
confirmando que a simplificação está correta.

Resposta

-\dfrac{2\sqrt{3}}{3}

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