QUESTÃO 01 : Considerando x \in \mathbb{R}, calcule:
\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}+0,4\right)^{1 / 2}=

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado o número real x (a expressão não depende de x, então isso não altera o cálculo).
  • A expressão a ser calculada é \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+0,4\right)^{1/2}.
    O pedido é calcular o valor numérico dessa expressão (raiz quadrada do que está entre parênteses).

Passo 2

Primeira coisa prática: transformar o decimal em fração para trabalhar com tudo em forma racional.
  • 0,4 significa 4 décimos, isto é \,0,4=\dfrac{4}{10}.
  • Simplificando \dfrac{4}{10} (dividindo numerador e denominador por 2) obtemos \dfrac{2}{5}.
    Logo reescrevemos a expressão como \left(\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{5}\right)^{1/2}.

Passo 3

Agora vamos somar e subtrair as frações \dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{2}{5}.
Para somar frações é preciso colocar todas com o mesmo denominador (denominador comum). O menor múltiplo comum de 3,7,5 é 105 (porque 3,7,5 são primos entre si, então 3\cdot7\cdot5=105).
Convertemos cada fração para denominador 105:
\dfrac{1}{3}=\dfrac{1\cdot35}{3\cdot35}=\dfrac{35}{105}, \qquad \dfrac{1}{7}=\dfrac{1\cdot15}{7\cdot15}=\dfrac{15}{105}, \qquad \dfrac{2}{5}=\dfrac{2\cdot21}{5\cdot21}=\dfrac{42}{105}.

Passo 4

Somamos/subtraímos os numeradores agora que os denominadores são iguais:
\dfrac{35}{105}-\dfrac{15}{105}+\dfrac{42}{105}=\dfrac{35-15+42}{105}=\dfrac{62}{105}.
Portanto o que está dentro da raiz é \dfrac{62}{105}.

Passo 5

Verificação de simplificação: tentamos simplificar \dfrac{62}{105}.
  • Usando o algoritmo de Euclides rapidamente: 105-62=43, 62-43=19, 43-2\cdot19=5, 19-3\cdot5=4, 5-1\cdot4=1. Como o resto final é 1, o máximo divisor comum é 1. Logo a fração \dfrac{62}{105} já está irredutível.

Passo 6

Agora aplicamos a raiz quadrada. Para números não negativos vale a propriedade
\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}},
desde que a\ge0 e b>0. Aqui a=62>0 e b=105>0, então
\left(\dfrac{62}{105}\right)^{1/2}=\sqrt{\dfrac{62}{105}}=\dfrac{\sqrt{62}}{\sqrt{105}}.
Se quiser uma aproximação decimal rápida: \dfrac{62}{105}\approx0,590476 e \sqrt{0,590476}\approx0,7686.

Resposta

\sqrt{\dfrac{62}{105}}

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