QUESTÃO 01 : Considerando
, calcule:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dado o número real
(a expressão não depende de , então isso não altera o cálculo). - A expressão a ser calculada é
.
O pedido é calcular o valor numérico dessa expressão (raiz quadrada do que está entre parênteses).
Passo 2
Primeira coisa prática: transformar o decimal em fração para trabalhar com tudo em forma racional.
-
significa décimos, isto é . - Simplificando
(dividindo numerador e denominador por ) obtemos .
Logo reescrevemos a expressão como.
Passo 3
Agora vamos somar e subtrair as frações
.
Para somar frações é preciso colocar todas com o mesmo denominador (denominador comum). O menor múltiplo comum de é
(porque
são primos entre si, então
).
Convertemos cada fração para denominador :
Para somar frações é preciso colocar todas com o mesmo denominador (denominador comum). O menor múltiplo comum de
Convertemos cada fração para denominador
Passo 4
Somamos/subtraímos os numeradores agora que os denominadores são iguais:
Portanto o que está dentro da raiz é
.
Passo 5
Verificação de simplificação: tentamos simplificar
.
- Usando o algoritmo de Euclides rapidamente:
, , , , . Como o resto final é , o máximo divisor comum é . Logo a fração já está irredutível.
Passo 6
Agora aplicamos a raiz quadrada. Para números não negativos vale a propriedade
desde que
e
. Aqui
e
, então
Se quiser uma aproximação decimal rápida:
e
.