Questão 01: Considere o ar atmosférico a 5^{\circ} \mathrm{C} e a velocidade de 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s} escoando sobre ambas as superfícies de uma placa plana de 1,5 \mathrm{~m} de comprimento que é mantida a 48^{\circ} \mathrm{C}.
a) Determine a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento da placa.
b) Se um arame fosse colocado próximo ao bordo de ataque, para induzir turbulência sobre o comprimento total da placa, qual seria a taxa de transferência de calor?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas e fornece estes dados:
Dados do problema:
Temperatura do ar ambiente: \,T_\infty = 5^\circ\mathrm{C}.
Velocidade do ar livre: \,U_\infty = 10\\ \mathrm{m/s}.
Comprimento da placa: \,L = 1,5\\ \mathrm{m}.
Temperatura da placa (superfície): \,T_s = 48^\circ\mathrm{C}.
Perguntas:
(a) Determinar a taxa de transferência de calor por unidade de comprimento da placa (isto é, o calor total por unidade de largura no sentido perpendicular ao escoamento) quando o escoamento se desenvolve naturalmente.
(b) Supondo que um arame provoque turbulência desde o bordo de ataque (ou seja, escoamento turbulento sobre todo o comprimento), qual seria a nova taxa de transferência de calor por unidade de comprimento?
Passo 2
Escolher propriedades do ar e justificar (assumptions).
Para convecção forçada sobre uma superfície usa-se as propriedades do fluido avaliadas na temperatura de filmeT_f = \frac{T_\infty + T_s}{2}.Substituindo:T_f = \frac{5^\circ\mathrm{C} + 48^\circ\mathrm{C}}{2} = 26,5^\circ\mathrm{C}.
Vou usar propriedades típicas do ar avaliadas em T_f (valores de tabela padrão). Os valores adotados são:\nu = 1,6\times 10^{-5}\\ \mathrm{m^2/s},\qquad k = 0,0263\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\qquad Pr = 0,71.(Se em exame houver tabela, usar os valores da tabela; aqui peguei valores típicos à T_f.)
Passo 3
Calcular o número de Reynolds característico e verificar se há transição natural.
Definição de Reynolds em comprimento x:Re_x = \frac{U_\infty x}{\nu}.Em x=L:Re_L = \frac{U_\infty L}{\nu} = \frac{10\cdot 1,5}{1,6\times 10^{-5}} = 9{,}375\times 10^{5}.
Interpretação prática: para escoamento em placa plana espera-se transição laminar\toturbulento quando Re_x atinge aproximadamente Re_{cr}\approx 5\times 10^{5} (valor prático usado em problemas). Assim há transição em algum x_{tr} tal que Re_{x_{tr}}=5\times10^{5}.
Calcular posição da transição:x_{tr}=\frac{Re_{cr}\,\nu}{U_\infty}=\frac{5\times10^{5}\cdot 1,6\times10^{-5}}{10}=0{,}8\\ \mathrm{m}.Observação: x_{tr}=0{,}8\\ \mathrm{m}<L=1{,}5\\ \mathrm{m}, logo a placa terá uma região laminar inicial e depois uma região turbulenta até o fim.
Passo 4
Fórmulas de transferência de calor usadas (explicação didática).
Conceitos:
Nusselt local Nu_x relaciona a convecção local com transporte condutivo:Nu_x = \frac{h_x x}{k},onde h_x é o coeficiente convectivo local em x.
Nusselt médio na extensão 0 a L:\overline{Nu}_L = \frac{h_{avg}\,L}{k},e a taxa de calor por unidade de largura (por unidade de comprimento na direção perpendicular ao escoamento) é\dot{Q}' = h_{avg}\,L\,(T_s-T_\infty).
Correlações padrão (placa plana, superfície a temperatura constante, fluido com 0{,}6\lesssim Pr\lesssim 60):
Região laminar (local):Nu_x^{\text{lam}} = 0{,}332\,Re_x^{1/2}Pr^{1/3}.Para média sobre comprimento L se todo o comprimento fosse laminar:\overline{Nu}_L^{\text{lam}} = 0{,}664\,Re_L^{1/2}Pr^{1/3}.
Região turbulenta (local, empírico):Nu_x^{\text{turb}} = 0{,}0296\,Re_x^{4/5}Pr^{1/3}.Para média sobre comprimento L se todo o comprimento fosse turbulento:\overline{Nu}_L^{\text{turb}} = 0{,}037\,Re_L^{4/5}Pr^{1/3}.
Quando há transição em x_{tr} (laminar até x_{tr} e turbulento de x_{tr} até L), integra-se localmente para obter a média. Isso leva à expressão que soma as contribuições das duas regiões (vou deduzir no próximo passo).
Passo 5
Dedução da expressão para mistura laminar+turbulenta (passo a passo).
A taxa de calor por unidade de largura é\dot{Q}'=(T_s-T_\infty)\int_{0}^{L} h_x\,dx.
Região laminar:\int_{0}^{x_{tr}}\frac{0{,}332\,Re_x^{1/2}Pr^{1/3}}{x}\,dx =0{,}332\,U_\infty^{1/2}\nu^{-1/2}Pr^{1/3}\int_{0}^{x_{tr}}x^{-1/2}\,dx.A integral dá 2x_{tr}^{1/2}. Assim a contribuição laminar ék\cdot 0{,}664\,Re_{x_{tr}}^{1/2}Pr^{1/3}.
Região turbulenta:\int_{x_{tr}}^{L}\frac{0{,}0296\,Re_x^{4/5}Pr^{1/3}}{x}\,dx =0{,}0296\,U_\infty^{4/5}\nu^{-4/5}Pr^{1/3}\int_{x_{tr}}^{L}x^{-1/5}\,dx.A integral dá \dfrac{5}{4}(L^{4/5}-x_{tr}^{4/5}). Multiplicando pelos coeficientes resulta emk\cdot 0{,}037\,Re_L^{4/5}Pr^{1/3}\Big[1-\Big(\frac{x_{tr}}{L}\Big)^{4/5}\Big].
Somando as duas contribuições e dividindo por k obtemos a Nusselt média na placa com transição:\overline{Nu}_L = 0{,}664\,Re_{x_{tr}}^{1/2}Pr^{1/3} + 0{,}037\,Re_L^{4/5}Pr^{1/3}\Big[1-\Big(\frac{x_{tr}}{L}\Big)^{4/5}\Big].
Finalmente:h_{avg} = \frac{\overline{Nu}_L\,k}{L},\qquad \dot{Q}' = h_{avg}\,L\,(T_s-T_\infty)=\overline{Nu}_L\,k\,(T_s-T_\infty).Observação prática importante: isso simplifica o cálculo da taxa de calor — depois de achar \overline{Nu}_L multiplica-se por k e pela diferença de temperatura para obter \dot{Q}'.
Passo 6
Calcular numericamente para o caso (a): fluxo natural com transição em x_{tr}.
Valores já calculados:Re_L = 9{,}375\times 10^{5},\qquad x_{tr}=0{,}8\\ \mathrm{m},\qquad \frac{x_{tr}}{L}=\frac{0{,}8}{1{,}5}=0{,}5333\ldots
Re_{x_{tr}} = 5\times 10^{5}.
Primeiro calcule Pr^{1/3}:Pr^{1/3} = 0{,}71^{1/3}\approx 0{,}892.
Termo laminar:0{,}664\,Re_{x_{tr}}^{1/2}Pr^{1/3} =0{,}664\cdot (5\times10^{5})^{1/2}\cdot 0{,}892 \approx 419{,}6.
Termo turbulento (com fator [1-(x_{tr}/L)^{4/5}]):Re_L^{4/5}\approx 5,973\times10^{4},
Interpretação: isto é a potência por metro de largura da placa (W por m de extensão perpendicular ao escoamento).
Passo 7
Calcular numericamente para o caso (b): escoamento turbulento desde o bordo (arame).
Se o escoamento for turbulento sobre todo o comprimento, usa-se:\overline{Nu}_L^{\text{turb}} = 0{,}037\,Re_L^{4/5}Pr^{1/3}.Já temos Re_L^{4/5}\approx 5,973\times10^{4} e Pr^{1/3}\approx 0{,}892. Então\overline{Nu}_L^{\text{turb}} \approx 1{,}971{,}3.
Calcular h e \dot{Q}':h = \frac{\overline{Nu}_L^{\text{turb}}\,k}{L} = \frac{1{,}971{,}3\cdot 0{,}0263}{1{,}5}\approx 34{,}57\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
Observação física: provocar turbulência aumenta h e, portanto, a taxa de calor por unidade de largura. Aqui o aumento é substancial (de ~1,36 kW/m para ~2,23 kW/m).
Passo 8
Validade e suposições (breve, para prova).
Usei correlações empíricas padrão válidas para placas planas com superfície a temperatura constante e para Pr na faixa adequada (aqui Pr\approx 0,71).
Assumi que a única transferência é por convecção (radiação negligenciada).
Assumi transição em Re_{cr}=5\times10^{5} (valor usual em problemas). Se a tabela do seu enunciado usar outro Re_{cr}, recalcular x_{tr} e refazer a soma.
Os resultados estão por unidade de largura da placa (W por metro de profundidade perpendicular ao escoamento).