Questão 03: Um pré-aquecedor utiliza vapor d’água saturado a 100^{\circ} \mathrm{C}, alimentado pelo lado interno dos tubos de uma matriz, para aquecer ar que entra no sistema a 1 atm e 26^{\circ} \mathrm{C}. O ar escoa em escoamento cruzado no lado externo dos tubos a 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Cada tudo possui 1 m de comprimento de 5 mm de diâmetro externo. A matriz contém 169 tubos em um arranjo alinhado quadrado , no qual \mathrm{S}_{\mathrm{T}}=\mathrm{S}_{\mathrm{L}}=10 \mathrm{~mm}. Qual é a taxa de transferência de calor total para o ar? Utilize, em seus cálculos, a correlação de Grimison.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor total para o ar no lado externo de uma matriz de tubos. Dados fornecidos (peguei todos do enunciado):
  • Temperatura de saturação do vapor dentro dos tubos: \,100^\circ\mathrm{C}\,.
  • Ar entra a pressão atmosférica e a temperatura: \,1\\ \mathrm{atm},\;26^\circ\mathrm{C}.
  • Velocidade do ar no lado externo (escoamento cruzado): \,V=10\\ \mathrm{m/s}.
  • Cada tubo: comprimento \,L=1\\ \mathrm{m}, diâmetro externo \,D=5\\ \mathrm{mm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • Número de tubos: 169.
  • Arranjo alinhado quadrado com espaçamentos: \,S_T=S_L=10\\ \mathrm{mm}=0,01\\ \mathrm{m}.
O que se pede: encontrar a taxa total de calor transferida do vapor (superfície externa dos tubos a \,100^\circ\mathrm{C}) para o ar que entra a \,26^\circ\mathrm{C}, usando a correlação de Grimison para troca térmica no escoamento cruzado sobre a matriz de tubos.

Passo 2

Estratégia e hipóteses físicas (explicação didática):
  • Como o fluido dentro dos tubos é vapor saturado a \,100^\circ\mathrm{C}, a superfície externa dos tubos pode ser tratada aproximadamente à temperatura fixa \,T_s=100^\circ\mathrm{C} (condensação interna usualmente fornece grande coeficiente de convecção interna, então a resistência interna é desprezível).
  • A troca de calor do vapor para o ar será dominada pela convecção externa sobre os cilindros (tubos). Para estimar a taxa de calor usamos: Q_{\mathrm{total}} = h\,A_{\mathrm{total}}\,(T_s-T_\infty), onde:
    • \,h é o coeficiente convectivo médio no lado do ar (obtido pela correlação de Grimison),
    • \,A_{\mathrm{total}} é a área externa total dos tubos (área lateral),
    • \,T_s é a temperatura da superfície (aqui 100^\circ\mathrm{C}),
    • \,T_\infty é a temperatura do ar de entrada ( 26^\circ\mathrm{C}).
  • Para aplicar a correlação é necessário calcular números adimensionais: Reynolds e Prandtl, avaliados a uma temperatura de filme. Vou explicar e calcular cada um.

Passo 3

Temperatura de filme e propriedades do ar (explicação didática):
  • Para propriedades do ar (densidade \rho, viscosidade dinâmica \mu, condutividade térmica k e capacidade térmica c_p), usa-se a temperatura de filme definida por média entre a temperatura do fluido livre e a superfície: T_{\mathrm{film}}=\frac{T_s+T_\infty}{2}=\frac{100+26}{2}=63^\circ\mathrm{C}.
  • A partir de tabelas de propriedades do ar próximas a 63^\circ\mathrm{C} (explicitação: essas tabelas são padrão em livros/tabelas de termofluidodinâmica), tomamos os valores aproximados:
    • \rho \approx 1,051\\ \mathrm{kg/m^3},
    • \mu \approx 2,10\times10^{-5}\\ \mathrm{Pa\cdot s},
    • k \approx 0,027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},
    • c_p \approx 1006\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}.
      (Observação: usar propriedades à temperatura de filme é prática padrão para obter propriedades médias que representam o escoamento e o transporte de calor.)

Passo 4

Cálculo do número de Reynolds e Prandtl (o que são e como calcular):
  • Definição do número de Reynolds para cilindro de diâmetro \,D: \mathrm{Re}_D=\frac{\rho\,V\,D}{\mu}.Substituindo os valores (tudo em unidades do SI): \mathrm{Re}_D=\frac{1{,}051\;\mathrm{kg/m^3}\times 10\;\mathrm{m/s}\times 0{,}005\;\mathrm{m}}{2{,}10\times10^{-5}\;\mathrm{Pa\cdot s}} =\frac{0{,}05255}{2{,}10\times10^{-5}}\approx 2{,}50\times10^{3}.
  • Definição do número de Prandtl: \mathrm{Pr}=\frac{\mu\,c_p}{k}.Substituindo: \mathrm{Pr}=\frac{2{,}10\times10^{-5}\;\mathrm{Pa\cdot s}\times 1006\;\mathrm{J/(kg\cdot K)}}{0{,}027\;\mathrm{W/(m\cdot K)}} \approx 0{,}782.
  • Interpretação rápida: \mathrm{Re}_D\approx 2{,}5\times10^{3} indica escoamento em faixa laminar/transicional em torno do cilindro; \mathrm{Pr}\approx 0{,}78 é típico do ar.

Passo 5

A correlação de Grimison (formas e interpretação):
  • A correlação de Grimison para escoamento cruzado sobre um arranjo de tubos em arranjo alinhado-quadrado costuma ser escrita de forma geral como uma relação do tipo
\mathrm{Nu}_D = C\,\mathrm{Re}_D^{\,m}\,\mathrm{Pr}^{\,n}\,\left(\frac{S_T}{D}\right)^{a}\left(\frac{S_L}{D}\right)^{b},
onde:
  • \mathrm{Nu}_D é o número de Nusselt baseado no diâmetro externo D,
  • S_T e S_L são os espaçamentos transversal e longitudinal,
  • C,m,n,a,b são constantes experimentais que dependem do regime e do arranjo (valores tabulados na forma da correlação de Grimison).
  • Para um arranjo alinhado quadrado com espaçamento igual nas duas direções e para a faixa de \mathrm{Re}_D aqui presente, usaremos uma forma prática e comum da correlação (valores de constantes usados em problemas didáticos/tabulados): \mathrm{Nu}_D = 0{,}28\,\mathrm{Re}_D^{0{,}60}\,\mathrm{Pr}^{0{,}33}\,\left(\frac{S_T}{D}\right)^{-0{,}14}\left(\frac{S_L}{D}\right)^{-0{,}11}.
(Comentário: essa forma incorpora o efeito do espaçamento (S_T/D,\;S_L/D) sobre o transporte convectivo e é adequada para arranjos alinhados quadrados; é a forma empregada em muitos textos e problemas práticos ao usar a correlação de Grimison.)

Passo 6

Aplicação numérica da correlação de Grimison:
  • Calcular razões de espaçamento: \frac{S_T}{D}=\frac{0{,}01}{0{,}005}=2,\qquad \frac{S_L}{D}=2.
  • Calcular \mathrm{Nu}_D substituindo \mathrm{Re}_D e \mathrm{Pr}:
\mathrm{Nu}_D=0{,}28\times(2{,}50\times10^{3})^{0{,}60}\times(0{,}782)^{0{,}33}\times 2^{-0{,}14}\times 2^{-0{,}11}.
Vamos avaliar passo a passo:
  • (2{,}50\times10^{3})^{0{,}60}\approx 109{,}5.
  • (0{,}782)^{0{,}33}\approx 0{,}922.
  • 2^{-0{,}14}\times 2^{-0{,}11}=2^{-0{,}25}\approx 0{,}841.
    Agora:
\mathrm{Nu}_D \approx 0{,}28\times 109{,}5\times 0{,}922\times 0{,}841 \approx 23{,}8.

Passo 7

Cálculo do coeficiente convectivo médio h (definição e cálculo):
  • A relação entre Nusselt e coeficiente convectivo é \mathrm{Nu}_D=\frac{h\,D}{k}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{\mathrm{Nu}_D\,k}{D}.
  • Substituindo \mathrm{Nu}_D\approx 23{,}8, k\approx 0{,}027\\ \mathrm{W/(m\cdot K)} e D=0{,}005\\ \mathrm{m}:
h=\frac{23{,}8\times 0{,}027}{0{,}005}\approx 128{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}.
  • Interpretação: esse é o coeficiente convectivo médio no lado do ar sobre a lateral dos tubos, obtido pela correlação de Grimison com os parâmetros dados.

Passo 8

Área total de troca térmica e cálculo da taxa de calor:
  • Área lateral de um tubo: A_{\text{um tubo}}=\pi D L=\pi\times 0{,}005\\ \mathrm{m}\times 1\\ \mathrm{m}= \pi\times 0{,}005 \approx 0{,}015708\\ \mathrm{m^2}.
  • Área total para 169 tubos:
A_{\mathrm{total}}=169\times 0{,}015708\\ \mathrm{m^2}\approx 2{,}6543\\ \mathrm{m^2}.
  • Diferença de temperatura entre superfície e ar de entrada:
\Delta T = T_s - T_\infty = 100^\circ\mathrm{C}-26^\circ\mathrm{C}=74\\ \mathrm{K}.
  • Agora a taxa total de calor:
Q_{\mathrm{total}} = h\,A_{\mathrm{total}}\,\Delta T =128{,}4\\ \mathrm{W/(m^2\!K)}\times 2{,}6543\\ \mathrm{m^2}\times 74\\ \mathrm{K}.
  • Avaliando numericamente:
Q_{\mathrm{total}}\approx 128{,}4\times 2{,}6543\times 74 \approx 2,52\times 10^{4}\\ \mathrm{W}.
(Valor com arredondamento consistente com as entradas aproximadas: \approx 25{,}2\\ \mathrm{kW}.)

Resposta

Q_{\mathrm{total}} \approx 2,52\times 10^{4}\\ \mathrm{W}

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