Questão 01: Dadas as funções abaixo. Determine os zeros das funções, esboce os gráficos, determine os intervalos de crescimento e decrescimento e estude os sinais das funções.
Passo 1
O enunciado pede para a função f(x)=−x+4 encontrarmos suas raízes (zeros), esboçarmos o gráfico, determinarmos onde ela cresce ou decresce e fazermos o estudo de sinais. Vamos usar conceitos de função afim, raiz de função, monotonicidade via coeficiente angular e desigualdades.
Passo 2
Para achar o zero, resolvemos
. Assim, temos: \
Logo, o zero de f é
Passo 3
Para esboçar o gráfico, identificamos dois pontos-chave: o intercepto em y (quando
) e o intercepto em x (já encontrado).
O intercepto em y é , então temos o ponto
.
O zero já foi achado.
Como a função é afim com coeficiente angular , basta ligar esses dois pontos com uma reta decrescente.
O intercepto em y é
O zero
Como a função é afim com coeficiente angular
Passo 4
Uma função afim
tem monotonicidade determinada por
. Aqui
, então f é estritamente decrescente em todo o domínio.
Portanto, f não tem intervalo de crescimento e é decrescente em .
Portanto, f não tem intervalo de crescimento e é decrescente em
Passo 5
Para o estudo de sinais, analisamos
e
:
portanto f(x)>0 em
E
logo f(x)<0 em
.
f(x)=0 apenas em x=4.
f(x)=0 apenas em x=4.
Resposta
Zero: x=4
Gráfico: reta que passa por (0,4) e (4,0) com coeficiente angular −1
Intervalos de crescimento e decrescimento: não cresce em nenhum ponto; decrescente em (−∞,∞)
Sinais: f(x)>0 para x<4; f(x)=0 em x=4; f(x)<0 para x>4
Gráfico: reta que passa por (0,4) e (4,0) com coeficiente angular −1
Intervalos de crescimento e decrescimento: não cresce em nenhum ponto; decrescente em (−∞,∞)
Sinais: f(x)>0 para x<4; f(x)=0 em x=4; f(x)<0 para x>4