Exercício 10 Um pedaço de fio de 16 cm de comprimento será cortado em duas partes. Uma delas será usada para fazer um quadrado e a outra para formar um círculo. Como deverá ser feito o corte de modo a minimizar a área total das figuras?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um fio de 16 cm que vai ser cortado em duas partes. Uma parte vai virar um quadrado e a outra, um círculo. O objetivo é descobrir onde fazer esse corte para que a área total das duas figuras seja a menor possível. Para isso, vamos usar um pouco de geometria e cálculo básico.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar o comprimento do fio usado para fazer o quadrado de $ x $ centímetros. Assim, o comprimento do fio para o círculo será $ 16 - x $ cm, já que o total é 16 cm.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como calcular o perímetro e a área de cada figura:
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Quadrado: Se o perímetro é $ x $, cada lado do quadrado tem comprimento $ \frac{x}{4} $. A área do quadrado, então, é lado ao quadrado:
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Círculo: O perímetro do círculo é a circunferência, que é $ 16 - x $. Sabemos que a circunferência é $ 2\pi r $, onde $ r $ é o raio. Então:A área do círculo é $ \pi r^2 $:
Passo 4
A área total das duas figuras é a soma das áreas do quadrado e do círculo:
Para encontrar o valor de $ x $ que minimiza essa área total, vamos derivar $ A_{total} $ em relação a $ x $ e encontrar onde a derivada é zero.
Derivando:
Igualando a derivada a zero para encontrar o mínimo:
Passo 5
Vamos resolver a equação para $ x $:
Multiplicando ambos os lados por $ 8 \times 2\pi $ para eliminar os denominadores:
Somando $ 8x $ em ambos os lados:
Fatorando $ x $:
Isolando $ x $:
Resposta
Para minimizar a área total das duas figuras, o corte deve ser feito de forma que aproximadamente 8,975 cm do fio sejam usados para fazer o quadrado, e o restante, cerca de 7,025 cm, para o círculo.