derive as funcates:
f(z)=(2 z-13 z^2+z-2)^3

Passo 1

A questão pede a derivada de f(z)=l(tfrac2z-13z^2+z-2r)^3. Vamos usar regra da cadeia para a potência e regra do quociente para a função racional.

Passo 2

Vamos reescrever f como composição: h(u)=u^3 e g(z)=tfrac2z-13z^2+z-2. Pela regra da cadeia temos
f'(z)=h'(g(z))cdot g'(z)=3l(g(z)r)^2,g'(z)

Passo 3

Agora calculamos g'(z) pelo quociente. Se g(z)=tfracA(z)B(z), então
g'(z)=A'(z),B(z)-A(z),B'(z)l(B(z)r)^2 Aqui A(z)=2z-1 com A'(z)=2, e B(z)=3z^2+z-2 com B'(z)=6z+1.

Passo 4

Substituindo em g' temos
g'(z)=2,(3z^2+z-2)-(2z-1)(6z+1)(3z^2+z-2)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
2(3z^2+z-2)-(2z-1)(6z+1)=6z^2+2z-4-(12z^2+2z-6z-1)=-6z^2+6z-3=-3(2z^2-2z+1) Então
g'(z)=-32z^2-2z+1(3z^2+z-2)^2

Passo 6

Finalmente, de volta em f'(z)=3(g(z))^2g'(z):
f'(z)=3l(tfrac2z-13z^2+z-2r)^2cdotl(-3tfrac2z^2-2z+1(3z^2+z-2)^2r) =-9(2z-1)^2(2z^2-2z+1)(3z^2+z-2)^4

Resposta

f'(z)=-9dfrac(2z-1)^2,(2z^2-2z+1)(3z^2+z-2)^4

Exercícios relacionados